Własności wartości własnych i
funkcji własnych operatora $L$.

Twierdzenie 12.2   Wszystkie wartości własne operatora $L: \: Dom(L) \rightarrow L_{2}(D)$ są dodatnie.

Dowód jest bazowany na nierówności (12.13)

Twierdzenie 12.3   Funkcje własne mogą być wybrane rzezywistymi

Dowód jest bazowany na rzeczywistości operatora $L: \, Dom(L) \rightarrow L_{2}(D)$.

Rozważmy teraz przypadek gdy

$$\beta =0\textrm{ lub }\beta =1 \textrm{ lub }u \Big\vert _{\parti... ...tial u}{\partial n}+ \alpha u \Big\vert _{\partial D} =0, \quad \alpha \geq 0.$$ (12.14)

Wtedy zachodzi takie twierdzenie:

Twierdzenie 12.4   Zbiór wartości własnych $Spec \,L$ operatora $L$ jest przeliczalny i nie ma skończonych punktów granicznych; każda wartość własna ma skończoną krotność. Każda funkcja z $Dom L$ ma rozwinięcie w regularno zbieżny szereg Fourier'a po funkcjach operatora $L$.

Niech $\lambda_{j}\in \mathbb{R}_{+}, \, j \in \mathbb{Z}_{+}$, są wartościami własnymi operatora $L, \, f_{j} \in Dom(L), \,$ $j\in \mathbb{Z}_{+}$ jego odpowiednimi funkcjami własnymi, tj.

$$Lf_{j}=\lambda_{j}f_{j}, \quad \lambda_{0} \leq \lambda_{1} \leq\lambda_{2} \leq \ldots\lambda_{k} \leq\lambda_{k+1} \leq \ldots$$ (12.15)

Funkcje własne $f_{j} \in Dom(L),\, j\in \mathbb{Z}_{+}$ mogą być wybrane ortogonalne i ortonormowane, tj. $\Vert f_{j}\Vert=1 \, j\in \mathbb{Z}_{+}$, oraz

$$(f_{j},f_{k})=\delta_{jk}, \quad j,k \in \mathbb{Z}_{+}$$ (12.16)

Niech teraz $f_{j} \in Dom(L)$. Na mocy Tw(12.4) mamy rozwinięcie w szereg Fourier'a:

$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(f,f_{k})f_{k}(x),$$ (12.17)

przy czym szereg (12.17) jest zbieżny regularnie w $\bar{D}$. Z drugiej strony, jest oczywistym, że przestrzeń $\mathcal{D}(D) \subset Dom (L)$. Ponieważ $\overline{\mathcal{D}(D)}=L_{2}(D)$, tj. $\mathcal{D}(D)$ jest gęsta w $L_{2}(D)$, otrzymujemy że $\overline{Dom(L)}=L_{2}(D)$, tj. $Dom(L)$ jest gęsta w $L_{2}(D)$. Stąd zachodzi

Twierdzenie 12.5   Zbiór funkcji własnych operatora $L: \, Dom(L) \rightarrow L_{2}(D)$ jest gęsty w $L_{2}(D)$.

Rozważmy teraz wyrażenie dla $f \in Dom (L)$:

$$(Lf,f)=\sum_{k=0}^{\infty}(\overline{f,f_{k}})(Lf,f_{k})=\sum_{k=0}^{\infty}(f,Lf_{k})(\overline{f,f_{k}})=$$ (12.18)

$$=\sum_{k=0}^{\infty}(f,\lambda_{k}f_{k})(\overline{f,f_{k}})=\sum_{k=0}^{\infty}\lambda_{k}{\big\vert (f,f_{k})\big\vert}^{2}$$

Twierdzenie 12.6   Zachodzi zasada wariacyjna:

$$\lambda_{k}=\inf_{(f,f_{i})=0,\, i=\overline{0,k-1}}\frac{(Lf,f)}{{\Vert f\Vert}^{2}}, \quad k \in \mathbb{Z}_{+}, \,f \in Dom(L)$$ (12.19)

Niech $f \in Dom (L)$ oraz $(f,f_{i})=0,\, i=\overline{0,k-1}$. Wtedy z (12.18) mamy:

$$(Lf,f)=\sum_{k=0}^{\infty}\lambda_{k}{\big\vert (f,f_{k})\big\ve... ...big\vert}^{2}=\lambda_{k}\sum_{s=k}^{\infty}{\big\vert (f,f_{k})\big\vert}^{2}$$ (12.20)

Z drugiej strony mamy równość Parsewala:

$$\sum_{s=k}^{\infty}{\big\vert (f,f_{s})\big\vert}^{2}= \sum_{s=0}^{\infty}{\big\vert (f,f_{s})\big\vert}^{2}={\Vert f\Vert}^{2}$$ (12.21)

Teraz korzystając z (12.21) i (12.20) znajdujemy:

$$\lambda_{k} \leq \frac{(Lf,f)}{{\Vert f\Vert}^{2}}$$ (12.22)

Biorąc $\inf$ z prawej strony wyrażenia (12.22) otrzymujemy:

$$\lambda_{k} \leq \inf_{(f,f_{j})=0 \; j=\overline{0,k-1}}\frac{(Lf,f)}{{\Vert f\Vert}^{2}}, \quad k \in \mathbb{Z}_{+}, \,f \in Dom(L)$$ (12.23)

Z drugiej strony przy $f=f_{k} \in Dom(L), \, k \in \mathbb{Z}_{+}$ z (12.20) otrzymujemy, że

$$\frac{(Lf_{k},f_{k})}{{\Vert f_{k}\Vert}^{2}}=\lambda_{k}, \quad (f_{j},f_{k})=\delta_{jk}$$ (12.24)

tj. infimum w (12.23) jest osiągalne. Tak więc zachodzi równość (12.19)

Niech taraz $f \in Dom (L)$ i

$$g_{s}:=f - \sum_{k=0}^{s}(f,f_{k})f_{k}$$ (12.25)

dla $s \in \mathbb{Z}_{+}$. Stosując (12.18) do (12.25) otrzymujemy:

$$(Lg_{s},g_{s})=\sum_{k=s+1}^{\infty} \lambda_{k}{\Vert(f,f_{k})\Vert}^{2} \to 0, \quad p \to \infty$$ (12.26)

ponieważ szereg (12.18) jest zbieżny.

Na mocy teraz nierówności (12.13) z (12.26) zachodzi:

$$\frac{1}{p_{0}}(Lg_{s},g_{s})\geq {\bigg\Vert{\Big\vert grad \,f-\sum_{k=0}^{s} (f,f_{k})grad \,f_{k}\Big\vert}^2\bigg\Vert}^{2} \equiv$$

$$\equiv {\big\Vert \vert grad \, g_{s}\vert\big\Vert}^2 \to 0 \textrm{ przy } s \to \infty$$ (12.27)

Tak więc otrzymaliśmy równość w $L_{2}(D)$

$$grad \, f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(f,f_{k}) grad \, f_{k}(x)$$ (12.28)

tj. na mocy (12.27) szereg (12.28) jest zbieżny po normie $L_{2}(D)$ do funkcji $grad \, f(x) \in L_{s}(D)$ co dowodzi twierdzenie poniżej

Twierdzenie 12.7   Niech $f \in Dom (L)$; wtedy szereg Fourier'a (12.17)
można różniczkować po $x_{j}, \, j=\overline{1,n}$ jeden raz i szeregi otrzymane będą
zbieżne do $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}; \, j=\overline{1,n}$ odpowiednio po normie przestrzeni $L_{2}(D)$