Funkcja Greeen'a dla (13.1)

Niech $g_{1}, g_{2} \in Dom(L)$ są rozwiązaniami (13.1) przy $\lambda =0$ z takimi warunkami brzegowymi:

$$h_{1}g_{1}(0)-h_{2}g_{1}'(0)=0, \quad H_{1}g_{2}(l)-H_{2}g'_{2}(l)=0,$$ (13.3)

Na mocy twierdzęn z teorii równań różniczkowych zwyczajnych znajdujemy że $g_{1},g_{2} \in C^2([0,l])$ i jako rozwiązania (13.1), (13.1) istnieją przy $\lambda =0$. Oczywiście że rozwiązania $g_{1},g_{2} \in C^2([0,l])$ są liniowo niezależne ponieważ $\lambda =0$ nie jest wartością własną operatora $L$. To znaczy także że zachodzi tożsamość Ostrogradskiego-Liouville'a:

$$p(x)w(x)=p(0)w(0)$$

gdzie

$$w(x):= det \left[ \begin{array}{cc} g_{1}(x) & g_{2}(x)\\ g'_{1}(x)& g'_{2}(x) \end{array} \right]$$ (13.4)

dla $x \in [0,l]$. Będziemy teraz szukać rozwiązania w postaci

$$f(x)=c_{1}(x)g_{1}(x)-c_{2}(x)g_{2}(x)$$ (13.5)

stosując metodę uzmienniania stałych. Jako wynik mamy:

$$f(x)=-\frac{1}{p(x)w(x)}\Big[ g_{2}(x) \int_{0}^{x}r(y)g_{1}(y) \mathrm{d}y +g_{1}(x) \int_{x}^{l}r(y)g_{2}(y) \mathrm{d}y\Big]$$ (13.6)

albo

$$f(x)= \int_{0}^{l}G(x,y)r(y) \mathrm{d}y,$$ (13.7)

gdzie

$$G(x,y):=-\frac{1}{p(x)w(x)} \left\{ \begin{array}{lll} g_{1}(x)... ... x \geq 0;\\ g_{2}(x)g_{1}(y), & &l \geq x \geq y;\\ \end{array} \right.$$ (13.8)

nazywamy funkcją Green'a operatora $L$ (13.1) -(13.2).

Funkcja Green'a ma takie własności:

1. jest rzeczywista i ciągła w domkniętym kwadracie $\overline{\sqcap}=[0,l] \times [0,l]$, jest klasy $C^2(0 \leq x \leq y \leq l)$ i $C^2(0 \leq y \leq x \leq l)$;
2. jest symetryczna:
   $$G(x,y)=G(y,x), \quad x,y \in \overline{\sqcap};$$

3. na przekątnej $x=y$ skok pochodnej $\frac{\partial G(x,y)}{\partial x}$ równa się $-\frac{1}{p(x)}$, tj.
   $$\frac{\partial G(y+0,y)}{\partial x} -\frac{\partial G(y-0,y)}{\partial x}=-\frac{1}{p(y)}, \quad y \in(0,l)$$

4. przy $x \neq y$ zachodzą równania jednorodne:
   $$L_{x}G(x,y)=0, \quad x \neq y, \quad (x,y) \in \overline{\sqcap}$$

5. są spełnione warunki brzegowe:
   $$h_{1}G(0,y)- h_{2}\frac{\partial G(0,y)}{\partial x}=0=H_{1}G(l,y)- H_{2}\frac{\partial G(l,y)}{\partial x}$$
   dla wszystkich $y \in [0,l]$;

6. $$L_{x}G(x,y)= \delta(x-y), \quad x,y \in (0,l)$$

Przykład. Funkcja Green'a problemu brzegowego

$$-f''(x)=\tau (x), \quad f(0)=f(1)=0$$ (13.9)

ma wygląd

$$G(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} x(1-y),& 0 \leq x \leq y\\ y(1-x), & y \leq x \leq 1 \end{array} \right.$$ (13.10)

Zastosujemy teraz wyrażenie (13.7) do problemu spektralnego (13.1) i (13.2):

$$f(x)=\lambda \int_{0}^{l}G(x,y)f(y) \mathrm{d}y$$ (13.11)

gdzie $\lambda \in \mathbb{R}$ jest parametrem spektralnym. Wyrażenie (13.11) ma tylko przeliczalną ilość funkcji własnych $f_{j} \in Dom(L),\, j\in \mathbb{Z}_{+}$, przy $\lambda=\lambda_{j} \in \mathbb{R}_{+},$ $\, j \in \mathbb{Z}_{+}$, tj.

$$f_{j}(x)=\lambda_{j} \int_{0}^{l}G(x,y)f_{j}(y) \mathrm{d}y$$ (13.12)

gdzie zbiór $\{f_{j} \in Dom(L): j\in \mathbb{Z}_{+} \}$ jest gęsty w $L_{2}(0,l)$.
Przykład Niech $p=1,q=0,h_{2}=H_{2}=0;$ wtedy mamy taki problem spektralny:

$$-f''=\lambda f \quad f(0)=f(l)=0$$ (13.13)

Funkcje własne są

$$f_{j}(x)=\sqrt{\frac{2}{l}} \sin \frac{j \pi x}{l}, \quad j \in \mathbb{Z}_{+}\backslash \{0\},$$

wartości własne są $\lambda_{j}={\frac{j \pi}{l}}^{2}, \quad j \in \mathbb{Z}_{+}\backslash \{0\}$.