Funkcje Bessel'a

Równanie

$$x^{2}f''+xf'+(x^{2}-{\nu}^{2})f=0$$ (13.14)

nazywa się równaniem Bessel'a. Każde rozwiązanie (13.14) ma nazwę funkcji cylindrycznej.

Niech $\nu \in \mathbb{R}$ jest parametrem w (13.14). Rozważmy wyrażenie

$$J_{\nu}(x):=\sum_{k \in {\mathbb{Z}}_{+}} \frac{{(-1)}^{k}{(\frac{x}{2})}^{2k + \nu}}{\Gamma(k+ \nu +1) \Gamma(k+1)}$$ (13.15)

Łatwo sprawdzić, stosując tożsamość $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z), \quad z \in \mathbb{R}$, że wyrażenie (13.15) dla $\nu \in \mathbb{Z}$ jest absolutnie zbieżne i spełnia równanie Bessel'a (13.14). Gdy $\nu \not \in \mathbb{Z}$, to wybieramy w wyrażeniu ${(x)}^{\nu}$ tą gałąź, dla której ${(x)}^{\nu}>0$ przy $x>0$.

Niech teraz $\nu \in \mathbb{Z}_{-}$; wtedy zdefiniujemy nową funkcję

$$Y_{\nu}(x):=J_{-\nu}(x), \quad \nu \in \mathbb{Z}_{-}$$ (13.16)

i $J_{\nu}(x)$ są liniowo niezależne. Gdy $\nu =n \in \mathbb{Z}$, wtedy

$$J_{-n}(x):=(-1)J_{n}(x),$$ (13.17)

Własności:

Funkcje Bessel'a posiadają takie własności:
Jeśli $\mu_{1},\mu_{2} \in \mathbb{R}$ są pierwiastkami równania

$$\alpha J_{\nu}(\mu)+ \beta \mu J_{\nu}(\mu), \quad \alpha,\beta \geq 0, \quad \alpha + \beta =0$$ (13.18)

to przy $\nu>-1$ zachodzi własność ortogonalności na $[0,1]$:

$$\int_{0}^{1}xJ_{\nu}(\mu_{1}x)J_{\nu}(\mu_{2}x) \mathrm{d}x=0, \quad {\mu_{1}}^{2} \neq {\mu_{2}}^{2};$$ (13.19)

$$\int_{0}^{1}x {J_{\nu}}^{2}(\mu_{1}x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}{J... ...}{2} \bigg(1 -\frac{{\nu}^{2}}{{\mu_{1}}^{2}} \bigg) {J_{\nu}}^{2}(\mu_{1}).$$

Dowód polega na własnościach równania Bessel'a przy $\mu=\mu_{1},\mu_{2}$ w takiej postaci:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg[ x \frac{\mathrm{d}J_{\nu}(\... ... x}\bigg]+ \bigg({\mu_{1}}^{2}x -\frac{{\nu}^{2}}{x}\bigg)J_{\nu}(\mu_{1}x)=0,$$ (13.20)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg[ x \frac{\mathrm{d}J_{\nu}(\... ...}\bigg]+ \bigg({\mu_{2}}^{2}x -\frac{{\nu}^{2}}{x}\bigg)J_{\nu}(\mu_{2}x)=0,$$

Dla funkcji Bessel'a sprawiedliwe jest następujące wyrażenie rekurencyjne:

$$J'_{\nu}(x)=J_{\nu -1}(x)- \frac{\nu}{x}J_{\nu}(x),$$ (13.21)

$$J'_{\nu}(x)=-J_{\nu +1}(x)- \frac{\nu}{x}J_{\nu}(x),$$

albo w postaci:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big( x^{\nu}J_{\nu}(x)\big)=x^{\nu}J_{\nu -1}(x),$$ (13.22)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big( x^{\nu}J_{\nu}(x)\big)=-x^{\nu}J_{\nu +1}(x),$$

Z (13.22) wyprowadzamy przy $m\in \mathbb{Z}_{+}$:

$${\bigg(x^{-1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg)}^{m} \big[ x^{\nu}J_{\nu}(x) \big] =x^{\nu -m} J_{\nu -m}(x),$$ (13.23)

$${\bigg(x^{-1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg)}^{m} \big[ x^{-\nu}J_{\nu}(x) \big] ={(-1)}^{m}x^{-(\nu +m)} J_{\nu +m}(x),$$

W szczególnści, przy $m\in \mathbb{Z}_{+}$ znajdujemy:

$$J_{m+\frac{1}{2}}(x)={(-1)}^{m} \sqrt{\frac{2}{\pi}}x^{m+ \frac{... ...1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigg) }^{m} \bigg(\frac{\sin x}{x} \bigg),$$

$$J_{m-\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}x^{m+ \frac{1}{2}}{\bigg... ...{-1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigg) }^{m} \bigg(\frac{\cos x}{x} \bigg),$$ (13.24)

Odejmując w (13.21) drugie równanie od pierwszego stronami, znajdujemy

$$J_{\nu+1}(x)- \frac{2 \nu}{x}J_{\nu}(x)+ J_{\nu-1}(x)=0$$ (13.25)

Zachodzi takie twierdzenie o pierwiastkach wyrażenia (13.18)

Twierdzenie 13.1   Pierwiastki równania (13.18) przy $\nu>-1$ są rzeczywiste, proste oprócz możliwie zera; są rozłożone symetrycznie od zera na osi $\mu \in \mathbb{R}$ i nie posiadają skończonych punktów granicznych.

Dowód: ponieważ funkcja Bessela jest wyrażeniem analitycznym po $x \in \mathbf{C}$, to stąd wynika nieobecność skończonych punktów granicznych dla pierwiastków (13.18). Niech teraz pierwiastek $\mu_{0} \in \mathbb{R}$ jest krotności $\geq 2$. Wtedy mamy równości:

$$\alpha J_{\nu}(\mu_{0})+\beta \mu_{0}J'_{\nu}(\mu_{0})=0,$$

$$\alpha J'_{\nu}(\mu_{0})+\beta \mu_{0}J''_{\nu}(\mu_{0})+\beta J'_{\nu}(\mu_{0})\Rightarrow (\textrm{na mocy równania Bessela} )\Rightarrow$$

$$\Rightarrow -\beta\bigg(\mu_{0} - \frac{{\nu}^{2}}{\mu_{0}}\bigg) J_{\nu}(\mu_{0})+ \alpha J'_{\nu}(\mu_{0})=0.$$ (13.26)

Stąd mamy:

a)

$J_{\nu}(\mu_{0})=J'_{\nu}(\mu_{0})=0$, albo

b)

${\alpha}^{2}+{\beta}^{2}({\mu_{0}}^{2}- {\nu}^{2})=0$.

Przypadek a) nie jest możliwy na mocy Tw. o jednoznaczności rozwiązania równania Bessel'a (13.14), ponieważ punkt $\mu_{0}>0$ nie jest osobliwy dla niego. Stosownie b) jest potrzebnym żeby $\beta>0$ oraz

$$\frac{\alpha}{\beta}=\sqrt{{\nu}^{2}-{\mu_{0}}^{2}}, \quad 0 < \mu_{0} \leq \vert\nu\vert.$$ (13.27)

Podstawiając (13.27) w pierwszą równość (13.26) i podnosząc do kwardatu, znajdujemy:

$${\Big[ J'_{\nu}(\mu_{0})\Big]}^{2}= \bigg( \frac{{\nu}^{2}}{{\mu_{0}}^{2}}-1\bigg) J_{\nu^{2}}(\mu_{0})$$

co jest sprzecznym z (13.19), tj.warunku że

$$\int_{0}^{1}x J_{\nu}^{2}(\mu_{0}x) \mathrm{d}x >0 \quad (\neq 0!),$$ (13.28)

co kończy dowód.

Rys. 9

przy $x \to + \infty$ dla $J_{\nu}(x)$ zachodzi takie wyrażenie asymptotyczne:

$$J_{\nu}(x) \simeq \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \big( x - \frac{\pi}{2}\nu - \frac{\pi}{4}\big) + O(x^{-\frac{3}{2}})$$ (13.29)

stąd zachodzi wzór dla przybliżonych pierwiastków $J_{\nu}(x)$:

$$\mu_{k}^{(\nu)} \simeq \frac{3 \pi}{4}+ \frac{\pi}{2}\nu + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}_{+}, \quad \vert k\vert \to \infty.$$ (13.30)