Zagadnienie odwrotne analizy spektralnej.

Wyżej już ustaliliśmy, że widmo $\sigma(L)$ operatora Schturm'a-Liouville'a (14.30) dla a priori zadanej funkcji $u \in \mathcal{S}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ z warunkiem (14.32) jest złożone ze skończonej ilości wartości własnych $\{\mu_{j}^{2} \in \mathbb{R}_{-}: \, j=\overline{1,N}\}=\sigma_{p}(L)$ oraz jego ciągłej części $\sigma_{c}(L)=\mathbb{R}_{+}$. Jest ciekawym i ważnym dla zastosowań pytanie: czy jest wzajemniejednoznacznym odwzorowanie

$$\mathcal{S}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \ni u: \rightleftharpoons S[\sigma(L)]$$ (14.57)

gdzie $S[\sigma(L)]$ jest zbiór tak zwanych ,,danych spektralnych'', charakteryzujących problem spektralny (14.31) w przestrzeni $L_{2}(\mathbb{R};C)$. To znaczy że $S[\sigma(L)]= \sigma_{p} \cup \{a'(\mu_{j}) \neq 0: \, j=\overline{1,N}\} \cu... ...ine{1,N}\} \cup \{ b(\mu), a(\mu): {\mu}^2 \in \sigma_{c}(L)= \mathbb{R}_{+}\}$ Zagadnienie odwrotne odwzorowania (14.57) daje możliwość opisania zbioru tych potencjałów $u \in \mathcal{S}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, które mają naprzód zadane dane spektralne $S[\sigma(L)]$, zdefiniowane wyżej. Okazuje się że zagadnienie odwroten może być rozwiązane w postaci jawnej i dokładnie dla szerokiej klasy danych spektralnych $S[\sigma(L)]$, co będzi naszym zadaniem poniżej.

W tym celu zdefiniujemy dwie nowe funkcje $\chi_{\pm}(x;\mu), \, \mu \in C_{\pm}$ odpowiednie, gdzie

$$\chi_{+}(x;\mu):=\phi(x;\mu)\exp(i \mu x),$$

$$\chi_{-}(x;\mu):=\psi(x;\mu)\exp(i \mu x),$$ (14.58)

Wykorzystując wyrażenia (14.40) i (14.43) dość prosto wyprowadzić następujące równania, które (14.58) spełniają na osi $\mathbb{R}:$

$$\chi_{+}(x;\mu)=1 + \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{2 i \mu}\Big( e^{2 i \mu(x-y)}-1\Big)u(y)\chi_{+}(y;\mu) \mathrm{d}y,$$ (14.59)

dla $\mu \in C_{+}$, i

$$\chi_{-}(x;\mu)=1 - \int_{x}^{\infty}\frac{1}{2 i \mu}\Big( e^{2 i \mu(x-y)}-1\Big)u(y)\chi_{-}(y;\mu) \mathrm{d}y,$$

dla $\mu \in C_{-}$. Z wyrażeń (14.59) widać że funkcja $\chi_{+}(x;\mu)$ jest analityczna w $C_{+}$, a $\chi_{-}(x;\mu)$ jest analityczna w $C_{-}$ i zachodzą takie wyrażenia asymptotyczne gdy $\vert\mu\vert \to \infty:$

$$\chi_{-}(x;\mu)=1 + \frac{1}{2 i \mu} \int_{x}^{\infty} u(y) \mathrm{d}y +O\big(\frac{1}{\mu^2}\big),$$ (14.60)

$$\chi_{+}(x;\mu)=1 - \frac{1}{2 i \mu} \int_{-\infty}^{x} u(y) \mathrm{d} y +O\big(\frac{1}{\mu^2}\big),$$

Oprócz tego zauważmy tutaj jeszcze, że funkcja $\bar{\psi}(x;\bar{\mu})$ jest analityczna w $C_{+}$, co jest skutkiem jej analityczności w $C_{-}$.

Mnożąc teraz (14.44) na $e^{i \mu x}a^{-1}(\mu)$, na mocy definicji funkcji (14.58) znajdujemy:

$$a^{-1}(\mu)\chi_{+}(x;\mu)=\chi_{-}(x;\mu) + r(\mu)\bar{\chi_{+}}(x;\mu) e^{2 i \mu x}$$ (14.61)

gdzie $r(\mu):=\frac{b(\mu)}{a(\mu)}$ dla wszystkich $\mu \in \mathbb{R}.$ Lewa strona (14.61) jest oczywiści analitycznie przedłużalna w $C_{+}$, za wyjątkiem zer $\mu \in i \mathbb{R}_{+}, \, j=\overline{1,N}$ gdzie wyrażeie $a^{-1}(u)\chi_{+}(x;\mu)$ ma proste bieguny. Funkcja $\chi_{-}(x;\mu)$ jest analityczna w $C_{-}$. To znaczy, że można zdefiniować jedną funkcję $\Phi(x;\mu)$ na całej płaszczyźnie $C$, takiej że

$$\Phi(x;\mu):= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{\chi_{+}}(x;\mu)... ...+},\\ {\chi_{-}}(x;\mu), & \textrm{gdy } \mu \in C_{+} \end{array} \right.$$ (14.62)

i mającej skok na osi rzeczywistej $\mathbb{R}=\partial C_{+}=\partial C_{-}$ w takiej postaci:

$$\Phi_{+}(x;\mu)-\Phi_{-}(x;\mu)=(\mu)\bar{\chi_{-}}(x;\mu) e^{2i\mu x}$$ (14.63)

dla wszystkich $\mu \in \mathbb{R}$, gdzie

$$\Phi_{\pm}(x;\mu):=\lim_{\epsilon \to 0} \Phi(x;\mu\pm \epsilon)$$ (14.64)

Na mocy (14.47) i (14.60) stwierdzamy że funkcja $\Phi(x;\mu)$ spełnia przy $\vert\mu\vert \to \infty$ taki asymptotyczny warunek:

$$\Phi(x;\mu)=1 + O\big(\frac{1}{\mu}\big)$$ (14.65)

To znaczy że funkcja $\Phi(x;\mu)-1$ rozpatrywana na $C_{+} \cup C_{-}$ spełnia warunek Cauchy'ego:

$$\Phi(x;\mu)-1= \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\gamma}\frac{\Phi(x;s) \mathrm{d} s}{s-\mu},$$ (14.66)

gdzie kawałkami gładki kontur $\gamma \subset C_{+} \cup C_{-}$ ma wygląd jak na rysunku:

Rys. 10

Wyliczając całkę po prawej stronie (14.66), znajdujemy że

$$\Phi(x;\mu)=1+ \sum_{n=1}\frac{\Gamma_{n}(x)}{\mu -\mu_{n}}+ \fr... ...} \int_{\mathbb{R}}\frac{r(s)\bar{\chi_{-}}(x;s)e^{2ixs} \mathrm{d} s}{s-\mu}$$ (14.67)

gdzie $Im \mu \neq 0,$ tj, $\mu \in C_{+}\cup C_{-}, \textrm{ a } \, \Gamma_{n}(x), \, n=\overline{1,N}$ są reszty, które mogą być powiązane z wartościami funkcji $\Phi(x;\mu)$ w punktach $\bar{\mu_{j}} \in C_{-} \,j=\overline{1,N}$, tj. z wartościami $\chi_{-}(x; \bar{\mu_{j}}), \, j=\overline{1,N}$. Mianowicie, z (14.67),(14.62) i (14.61) otrzymujemy, że

$$\Gamma_{n}=\frac{\varphi(x; \mu_{n})e^{i \mu_{n}x}}{a'(\mu_{n})}=\frac{b(\mu_{n})\bar{\psi}(x;\bar{\mu_{n}})}{a'(\mu_{n})}=$$ (14.68)

$$\frac{b(\mu_{n})}{a'(\mu_{n})} \chi_{-}(x; \bar{\mu_{n}})e^{2i \mu_{n}x}=\frac{b(\mu_{n})}{a'(\mu_{n})} \chi_{-}(x; -\mu_{n})e^{2i \mu_{n}x}$$

dla wszystkich $n=\overline{1,N}$. Tak więc mamy z (14.69):

$$\Gamma_{n}=\frac{b(\mu_{n})}{a'(\mu_{n})}e^{2i\mu_{n}x} \bigg\{1-... ...mathbb{R}}\frac{r(s)\bar{\chi_{-}}(x;s)e^{2ixs} \mathrm{d}s}{s+\mu_{n}}\bigg\}$$ (14.69)

gdzie $n=\overline{1,N}$. Niech teraz $\mu \in C_{-}$ w wyrażeniu (14.67) dąży z dołu do osi rzeczywistej $\mathbb{R}=\partial C_{-}$. Wtedy oczywiście na mocy (14.62) znajdziemy:

$$\chi_{-}(x,\mu)=1+ \sum_{n=1}^{N}\frac{\Gamma_{n}(x)}{\mu -\mu_{... ...{R}}\frac{r(s)\bar{\chi_{-}}(x;s)e^{2ixs} \mathrm{d} s}{s-\mu + i0}\bigg\}:=$$

$$1+ \sum_{n=1}^{N}\frac{\Gamma_{n}(x)}{\mu -\mu_{n}}- \pi i r(\mu... ...} \int_{\mathbb{R}}\frac{r(s)\bar{\chi_{-}}(x;s)e^{2isx} \mathrm{d}s}{s -\mu},$$ (14.70)

gdzie $\mu \in \mathbb{R},$ oraz całka v.p $\int_{\mathbb{R}}$ znaczy wzięcie niewłaściwej całki w sensie wartości głównej. Teraz można wykorzystać wyrażenie (14.60) dla znalezienia funkcji potencjału $u \in \mathcal{S} (\mathbb{R};\mathbb{R})$ przez (14.70):

$$u(x)= - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Big(2i \sum_{n=1}^{N}\Gamm... ...ac{1}{\pi} \int_{\mathbb{R}}r(s)\bar{\chi_{-}}(s;\mu)e^{2isx} \mathrm{d}s\Big)$$ (14.71)

Jako równania całkowe wyrażenia (14.69) i (14.70) są jednoznacznie rozwiązalne. Współczynnik $r(s), \, s \in \mathbb{R}$, w (14.71) ma spełniać zgodnie z (14.61) takie warunki:

i)

$r(-s)=r(s)$;

ii)

$\vert r(s)\vert<1, \, s \neq 0$;

iii)

$r(s)=O\big(\frac{1}{s}\big), \, \vert s\vert \to \infty$;

iv)

$$\int_{\mathbb{R}}\big( 1 + \vert x\vert\big) \Big\vert\frac{\math... ...hrm{d}x} \int_{\mathbb{R}}b(s)e^{isx} \mathrm{d}s \Big\vert\mathrm{d}x < \infty$$ (14.72)

gdzie ostatni warunek $iv)$ gwarantuje że potencjał $u \in \mathcal{S} (\mathbb{R};\mathbb{R})$ znaleziony wg. wzoru (14.71) będzie sprawdzać warunek (14.32)