Twierdzenia o śladach.

Dziedziną funkcji $u\in W_{2}^{m}(\Omega )$ jest otwarty zbiór $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}.$ Ponieważ punkty brzegu $\partial \Omega \notin \Omega ,$ to pytanie o to, czemu równa się wartość funkcji $u\in W_{2}^{m}(\Omega )$ przy $x=x_{0}\in \partial \Omega$ nie jest trywialne. Oprócz tego, należy odnotować, że elementy przestrzeni $W_{2}^{m}(\Omega )$ jak i przestrzeni $L_{2}(\Omega )$ nie są zwykłymi funkcjami, a klasami równoważności funkcji, które różnią się na zbiorach miary zero. Ponieważ zbiór $\partial \Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ ma miarę zero, to nie jest jasnym z góry jak w sposób jednoznaczny zdefiniować funkcję $u\in W_{2}^{m}(\Omega )$ na brzegu $\partial \Omega .$ Rozwiązanie tego rodzaju problemu ma bardzo ważne znaczenie dla teorii równań różniczkowych z warunkami brzegowymi. To znaczy że problem brzegowy polega w znalezieniu rozwiązania równania rózniczkowego, które spełnia specjalne warunki brzegowe na $\partial \Omega .$ Już było powiedziane, że zbiór $C^{\infty }(\bar{\Omega})$ jest gęsty w $W_{2}^{m}(\Omega )$, gdy $\partial \Omega$ jest zbiorem gładkim lub $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ jest zbiorem gwiaźdistym. Tak więc, jeśli $u\in W_{2}^{m}(\Omega ),$ to albo $u\in$ $C^{\infty }( \bar{\Omega}),$ albo istnieje ciąg $u_{k}\in C^{\infty }(\bar{\Omega}),$ $k\in \mathbb{Z}_{+},$ taki że $\Vert u_{k}(x)-u\Vert _{m}\rightarrow 0$ gdy $k\rightarrow \infty .$ Oczywiście, że ślad $u\vert _{\partial \Omega }$ jest dla $\ u\in C^{\infty }(\bar{\Omega})$ okreslony w sposób zwykły. Kiedy $u\notin C^{\infty }(\bar{\Omega}),$ to dla każdego $k\in\mathbb{Z}_{+}$ jest określony ślad $\ u_{k}\vert _{\partial \Omega }.$ Wtedy ślad $u\vert _{\partial \Omega }$ można zdefiniować jako granicę

$$u\vert _{\partial \Omega }:=\underset{k\rightarrow \infty }{\lim } u_{k}\vert _{\partial \Omega }.$$ (3.1)

Problem jest w tym, że granica w (3.1) może na ogól być zależną od wyboru ciągu $u_{k}\in C^{\infty }(\bar{\Omega}),$ $k\in \mathbb{Z}_{+}.$

Przykład 3.1   Niech $\Omega =(0,1),\, \partial \Omega =\{0,1\}$. Weźmy funkcję
$u\equiv 0\in W_{2}^{0}(0,1)=L_{2}(0,1)$. Rozważmy teraz trzy ciągi funkcij:
$\alpha _{k},\beta_{k},\gamma _{k}\in C([0,1])\subset L_{2}(0,1),$ $k\in \mathbb{Z}_{+},$ gdzie

$$\alpha _{k}=\left\{ \begin{array}{lll} 0, & &0\leq x\leq ... ... kx+1-k, & &1-\frac{1}{k}\leq x\leq 1 \end{array} \right.$$

$$\beta _{k}=\left\{ \begin{array}{lll} 0, & &0\leq x\leq 1... ...x+2(1-k),& & 1-\frac{1}{k}\leq x\leq 1; \end{array} \right.$$

$$\gamma _{k}=\left\{ \begin{array}{lll} 0, & &0\leq x\leq ... ... -kx+k-1,& &1-\frac{1}{k}\leq x\leq 1. \end{array} \right.$$

Rys. 3

Oczywiście, że $\Vert \alpha _{k}\Vert _{0}\rightarrow 0,$ $\Vert \beta _{k}\Vert _{0}\rightarrow 0$ $\$i $\Vert \gamma _{k}\Vert _{0}\rightarrow 0$ przy $k\rightarrow \infty .$ Tym nie mniej, $\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }\alpha _{k}\vert _{\partial \Omega }=\left\{ 0,1\right\} ,$ $\underset{k\rightarrow \infty }{\lim }\beta _{k}\vert _{\partial \Omega }=\left\{ 0,2\right\} ,$ $\underset{k\rightarrow \infty }{\lim }\gamma _{k}\vert _{\partial \Omega }=\left\{ 0,-1\right\} ,$ co daje niepoprawne znaczenie funkcji $u\vert _{\partial \Omega }=\left\{ 0,0\right\} .$ Tym nie mniej, jest prawdziwe następne twierdzenie, które podajemy bez dowodu.

Twierdzenie 3.2   Odwzorowanie $u:\rightarrow$ $u\vert _{\partial \Omega },$ gdzie $u\in C^{\infty }(\overset{\_}{\Omega })$ przedłuża się w sposób jednoznaczny i ciągły do ciągłego odwzorowania
$W_{2}^{m}(\Omega )\rightarrow W_{2}^{m-\frac{1}{2}}(\partial \Omega ),$ gdzie przestrzeń $W_{k}^{s}(\partial \Omega ),$ $s=m-\frac{1}{2}$ jest zdefiniowana w następujący sposób: $\ u\in W_{k}^{s}(\partial \Omega ),$ $s\in \mathbb{R}$ jeśli lokalnie kompozycja $u\circ \varphi _{loc}^{-1}:\mathbb{R}^{n-1}\rightarrow \mathbb{R}^{1}$ jest elementem $W_{2}^{s}(\mathbb{R}^{n-1}),$ $\varphi _{loc}:\partial \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n-1}$

$$W_{2}^{s}(\mathbb{R}^{n-1})=\big\{u\in L_{2}(\mathbb{R}^{n-1}):(1+\vert\xi \vert^{2})^{\frac{s}{2}}\hat{u}\in L_{2}(\mathbb{R}^{n-1})\big\}$$ (3.2)

dla każdego $s\in \mathbb{R}^{1}$ (jak dodatne tak i ujemne). Przy $s=m$ oczywiście $W_{2}^{m}(\mathbb{R}^{n-1})=W_{2}^{s}(\mathbb{R} ^{n-1})\vert _{s=m},$ ponieważ normy $\Vert \cdot \Vert _{m}^{^{\prime }}$ i $\Vert \cdot \Vert _{m}$ są równoważne.

Teraz , niech $u_{k}\in C^{\infty }(\overset{\_}{\Omega }),$ $k\in \mathbb{Z}_{+},$ jest ciągiem aproksymującym element $\ u\in W_{2}^{m}(\Omega ):$ $\parallel u-u_{k}\parallel _{m}\rightarrow 0$ gdy $k\rightarrow \infty .$ Na mocy twierdzenia (3.2) ciąg $u_{k}\vert _{\partial \Omega }\in C^{\infty } (\partial \Omega ),$ $k\in \mathbb{Z}_{+},$ jest zbieżny w sensie $W_{2}^{m-\frac{1}{2}}(\partial \Omega )$ do pewnej funkcji $\bar{u}\in W_{2}^{m-\frac{1}{2}} (\partial \Omega ),$ nie zależnej od wyboru ciągu $u_{k}\in C^{\infty }(\overset{\_}{\Omega }),$ $k\in \mathbb{Z}_{+}.$ Kładziemy wówczas

$$u\vert _{\partial \Omega }:=\bar{u}\in W_{2}^{m-\frac{1}{2}}(\partial \Omega )$$ (3.3)

Odwzorowanie $u\rightarrow u\vert _{\partial \Omega }$ jest ciągłe jak odwzorowanie
$W_{2}^{m}(\Omega ):\rightarrow W_{2}^{m-\frac{1}{2}}(\partial \Omega ),$ i jest oprócz tego jeszcze surjektywnym (tj. ,,na''): dla każdego elementu $\bar{u}\in$ $W_{2}^{m-\frac{1}{2}}(\partial \Omega )$ istnieje taki element $u\in$ $W_{2}^{m}(\Omega )$, że zachodzi równość $\ u\vert _{\partial \Omega }=\bar{u}.$ Wsposób analogiczny jak pojęcie śladu funkcji na brzegu $\partial \Omega$ wprowadzamy ślad elementu $\frac{\partial u}{\partial \vec{n}} \vert _{\partial \Omega },$ gdzie odwzorowanie

$$u:\rightarrow \frac{\partial u}{\partial \vec{n}}, \vec{n} \partial \Omega ,$$ (3.4)

jest odwzorowaniem $W_{2}^{m}(\Omega ):\rightarrow W_{2}^{m-\frac{3}{2}}(\partial \Omega )$ i posiada własności podobne do twierdzenia (3.2), gdzie $m\geq 2.$ Dla $u\in W_{2}^{m}(\Omega )$ można rozpatrywać normalne pochodne $\frac{\partial ^{k}u}{\partial \vec{n}}$ do rzędu $k$ wlącznie, gdzie $m-k-\frac{1}{2}>0,$ które są elementami przestrzeni $W_{2}^{m-k-\frac{1}{2}}(\partial \Omega )$. Tak więc odwzorowanie

$$W_{2}^{m}(\partial \Omega )\ni u:\rightarrow \{u\vert _{\partial ... ...overset{k}{\underset{s=0}{ \otimes }}W_{2}^{m-s-\frac{1}{2}}(\partial \Omega )$$ (3.5)

jest ciągłym i surjektywnym na $W_{2}^{m}(\partial \Omega ).$

Wniosek 3.3   Jądrem odwzorowania (3.5) jest przestrzeń $\overset{o}{W}$ $_{2}^{m}(\Omega ).$