Twierdzenia o zanurzeniu.

Jak było już omówione wyżej, funkcje z $W_{2}^{m}(\Omega )$ mogą ogól nie mieć pochodnych w sensie klasycznym. Jednak istnienie wystarczająco dużej ilości pochodnych uogólnionych, całkowalnych z kwadratem, powoduje istnienie zwyczajnych pochodnych klasycznych mniejszego rzędu. Zachodzi takie twierdzenie.

Twierdzenie 4.1 (Sobolewa S.L.)   Jeśli element $u\in W_{2}^{m}( \mathbb{R}^{n})$ przy $m>\frac{n}{2}$, to istnieje funkcja ciągła $\tilde{u} \in C(\mathbb{R}^{n}),$ taka że p.w. na $\mathbb{R}^{n}$ $u=\tilde{u}.$

$\lhd$ Dowód. Niech $u\in W_{2}^{m}(\mathbb{R}^{n});$ wó wczas funkcja

$$\big(1+\vert\xi \vert^{2}\big)^{\frac{m}{2}}\hat{u}(\xi )\in L_{2}(\mathbb{R}^{n}).$$

Ponieważ funkcja $\big(1+\vert\xi \vert^{2}\big)^{-\frac{m}{2}}$ przy $m>\frac{n}{2}$ też należy $L_{2}(\mathbb{R}^{n}),$ to iloczyn

$$\big(1+\vert\xi \vert^{2}\big)^{\frac{m}{2}}\hat{u}(\xi )\circ \big(1+\vert\xi \vert^{2}\big)^{-\frac{m}{2}}\in L_{1}(\mathbb{R}^{n})$$

na mocy nierowności Schwarza. To oczywiście znaczy, że $\hat{u}\in L_{1}(\mathbb{R}^{1}),$ tj. transformacja Fouriera $\hat{u}: \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{C}$ jest funkcją całkowalną na $\mathbb{R}^{n}.$ Rozważmy teraz funkcję

$$\ \tilde{u}(x):=(2\pi )^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\hat{u}(\xi )\exp <ix,\xi >d\xi ,$$ (4.1)

gdzie $x\in \mathbb{R}^{n}.$ Na mocy twierdzenia Lebesque'a, funkcja (4.1) jest ciągła na $\mathbb{R}^{n}.$ Porównamy teraz $u\in$ $W_{2}^{m}(\mathbb{R}^{n})$ i $\tilde{u}\in C(\mathbb{R}^{n}):$ dla każdego elementu $\varphi \in C_{0}^{\infty }(\mathbb{R}^{n}):=\mathcal{D(}\mathbb{R}^{n})$ mamy

$$u(\varphi )=\int_{\mathbb{R}^{n}}dxu(x)\frac{1}{(2\pi )^{\frac{n}{2}}}\int_{\mathbb{R }^{n}}\hat{\varphi}(\xi )\exp i<x,\xi >d\xi$$ (4.2)

$$\Rightarrow \textrm{<Parsewal}^{\prime }\textrm{a to''rsamo''s''c}$$

$$\Rightarrow \int_{\mathbb{R}^{n}}d\xi \frac{\hat{u}}{(2\pi )^{\frac{n}{2}}}\int_{ \mathbb{R}^{n}}\varphi (x)\exp (+i<x,\xi >)dx$$

$$\Rightarrow \textrm{na mocy tw. Fubini'ego zmieniamy porządek całek }$$

$$\Rightarrow \int_{\mathbb{R}^{n}}(\int_{\mathbb{R}^{n}}u(\xi )\exp <ix,\xi > \frac{d\xi }{(2\pi )^{\frac{n}{2}}}\varphi (x)dx$$

$$=\int_{\mathbb{R}^{n}}\tilde{u}(x)\varphi (x)dz=\tilde{u}(\varphi ).$$ (4.3)

Z równości (4.2) zachodzi że $\tilde{u}=u$ p.w. na $\mathbb{R}^{n},$ co należało dowieść.$\rhd$ Jest prawdziwe następne, bardziej ogólne twierdzenie Sobolewa.

Twierdzenie 4.2 (Sobolewa S.L.)   Jeśli $u\in W_{2}^{m}( \mathbb{R}^{n})$ przy $m>\frac{n}{2}+\sigma ,$ to istnieje taka funkcja klasy $C^{[\sigma]}(\mathbb{R}^{n}),$ p.w. równa funkcji $u\in W_{2}^{m}(\mathbb{R}^{n}),$ gdzie $[\sigma ]$ jest częścią całkowitą liczby $\sigma \in \mathbb{R}^{1}.$

Twierdzenie (4.2). może być uogólnione na przypadek $\Omega \neq \mathbb{R}^{n}.$ Zachodzi takie twierdzenie Sobolewa.

Twierdzenie 4.3   Niech $u\in W_{2}^{m}(\Omega ).$ Wtedy istnieje funkcja $\tilde{u}\in C^{[\sigma ]}(\bar{\Omega})$ przy $m>\frac{n}{2}+\sigma ,$ taka że $\tilde{u}=u$ p.w. na $\bar{\Omega}$ i zanurzenie $W_{2}^{m}(\Omega ):\rightarrow C^{[\sigma ]}(\bar{\Omega})$ jest ciągłym i surjektywnym na $W_{2}^{m}(\Omega ),$ oraz zwartym.

Stąd zachodzi, że każdy słabo zbieżny ciąg w $W_{2}^{m}(\Omega )$ jest zbieżny po normie $C($lub $C^{[\sigma ]})$ przy $m>\frac{n}{2}$ (lub przy $m>\frac{n}{2}+\sigma ),$ a każdy zbiór ograniczony w $W_{2}^{m}(\Omega )$ jest zwartym w $C($lub w $C^{[\sigma ]}).$ Zachodzi takie twierdzenie Rellich'a.

Twierdzenie 4.4   Niech $q>m\geq 0,$ i $\Omega \subset \mathbb{R} ^{m}$ jest obszar ograniczony w $\mathbb{R}^{m}.$ Wtedy przestrzeń $W_{2}^{q}(\Omega )$ jest gęsto, ciągle i zwarcie zanurzona w $\ W_{2}^{m}(\Omega ).$