Inicjalizacja

Podobnie jak w przypadku standardowego PPL także w przypadku zadania ograniczonego istnieje problem inicjalizacji, to znaczy znalezienia jakiegokolwiek bazowego rozwiązania dopuszczalnego czyli pierwszego dopuszczalnego słownika. Także w tym przypadku w poszukiwanie takiego słownika wprzęgniemy metodę sympleks.
Z zadaniem

$$% latex2html id marker 6726 \left\{ \begin{array}{lrllr}... ... &d_j &\leq x_j \leq g_j & (j=1,...,n) \end{array} \right.$$ (6.6)

skojarzymy zadanie PL w którym ograniczenia będą postaci:

$$\left\{ \begin{array}{lrlclll} \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j & ... ...\leq & x_k & \leq & g_k & (k=1,...,n+m) \end{array} \right.$$ (6.7)

przy czym dla $k>n$ dolne i górne ograniczenia we wzorze () są wyznaczane w sposób opisany poniżej.
Niech $\tilde{x}_1,...,\tilde{x}_{n+m}$ będą dane następującymu wzorami:

$$\tilde{x}_j = d_j \ \ \mbox{ lub } \ \ \tilde{x}_j = g_j \ \ \mbox{ dla } \ \ j=1,...,n$$

$$\tilde{x}_{n+i} = b_i - \sum_{j=1}^n a_{ij}\tilde{x}_j \ \ \ (i=1,...,m)$$

Jeśli $\tilde{x}_{n+i} \geq 0$ to w () przyjmujemy $d_{n+i}=0, \ g_{n+i}=+\infty$, jeśli zaś $\tilde{x}_{n+i}<0$ to $d_{n+i}=-\infty , \ g_{n+i}=0$.
Jest oczywiste, że () ma rozwiązanie dopuszczalne wtedy i tylko wtedy, gdy () ma rozwiązanie w którym $x_{n+i}=0\ (i=1,...,m)$. Problemem ograniczonym PL który wystarczy rozwiązać jest

$$\left\{ \begin{array}{lrlclll} \sum_{i=1}^mw_{n+i}x_{n+i... ...\leq & x_k & \leq & g_k & (k=1,...,n+m) \end{array} \right.$$ (6.8)

gdzie $w_{n+i}= \left\{ \begin{array}{rrrcl} 1 & \mbox{ gdy } & d_{n+i} & = & 0\\ -1 & \mbox{ gdy } & g_{n+i} & = & 0 \end{array} \right.$. Problem () jest niesprzeczny, $\tilde{x}_1,...,\tilde{x}_{n+m}$ jest jego rozwiązaniem dopuszczalnym. Jeśli () ma rozwiązanie optymalne zerowe ( ${x}_{n+i}=0, \ i=1,...,m$), to pierwszych $n$ współrzędnych tego rozwiązania ${x}_1,...,{x}_n$ jest rozwiązaniem dopuszczalnym ().