Next: Algebra i geometria analityczna Up: Zadania z matematyki dla Previous: Rachunek różniczkowy funkcji jednej Contents

Rachunek całkowy zmiennej rzeczywistej

Oblicz następujące całki nieoznaczone:

$\begin{displaymath}\int\frac{x+1}{\sqrt{x}}dx\ ,\ \ \int\frac{(1-x)^3}{x\sqrt[... ...\ \ \int\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{x^4-1}}dx\ ,\ \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\int(2^x+3^x)^2dx\ .\end{displaymath}$
Wykaż, ze jezeli $\int{f(x)dx}=F(x)+C$ , wtedy
$\int{f(ax+b)}dx=\frac1aF(ax+b)+C$ .
Oblicz:

$\begin{displaymath}\int(2x-3)^{10}dx\ ,\ \ \int\frac{\sqrt[5]{1-2x+x^2}}{1-x}dx\... ...\int\frac{1}{\sqrt{3x^2-2}}dx\ ,\ \ \int{(e^{-x}+e^{-2x})}dx\ ,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\int\frac{1}{(1-cosx)}dx\ ,\ \ \int\frac{dx}{1+sinx}\ ,\ \ \int\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}\ ,\ \ \int\frac{x^3dx}{x^8-2}\ ,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\int\frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}\ ,\ \ \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1... ... \int\frac{dx}{(x^2+1)^{3//2}}\ ,\ \ \int\frac{e^x}{2+e^x}dx\ ,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\int\frac{dx}{x\ln x\ \ln (\ln x)}\ ,\ \ \int\sqrt{\frac{\l... ...int\frac{arctgx}{1+x^2}dx\ ,\ \ \int\frac{2^x3^x}{9^x-4^x}dx\ .\end{displaymath}$
Metodą podstawiania oblicz następujące całki :

$\begin{displaymath}\int{x^5(2-5x^3)^{2//3}dx} \ ,\ \ \int{\cos^5x\sqrt{\sin x}dx... ...{\ln xdx}{x\sqrt{1+\ln x}}\ ,\ \ \int\frac{dx}{e^{x//2}+e^x}\ ,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}\ ,\ \ \int\frac{arctg\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx\ .\end{displaymath}$
W tym zadaniu nauczymy się (trochę inaczej) całkować funkcje postaci $\frac{x^m}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\ \ (m\in{{\bf N}})$ , a w konsekwencji funkcje postaci $\frac{P(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$ , gdzie P(x) jest pewnym wielomianem.
Oznaczmy $V_{m}=\int\frac{x^m}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx$ , oraz $Y=ax^2+bx+c$ .

(a)

Licząc pochodną wyrażenia $x^{m-1}\sqrt{Y}$ a następnie całkując stronami wykaż wzór

$\begin{displaymath} x^{m-1}\sqrt{Y}=maV_{m}+(m-\frac12)bV_{m-1}+(m-1)cV_{m-2}. \end{displaymath}$ (6.1)

(b)

Korzystając z () wyraź $V_{1}$ i następnie $V_{2}$ przez $\sqrt{Y}$ i $V_{0}$ .

(c)

Kontynuując to postępowanie wywnioskuj, ze

$\begin{displaymath}V_{m}=P_{m-1}(x)\sqrt{Y}+\lambda_{m}V_{0}\end{displaymath}$

gdzie $P_{m-1}$ jest wielomianem stopnia $$m-1ża\'s \(\lambda_{m}$ pewną stałą. \item[{{(d)}}] Wielomian $P_{m}$i s... ...frac{dx}{(x-\alpha)^k\sqrt{Y}}żacznij od podstawienia $x-\alpha=\frac1t$.$
Przyjmując podstawienia trygonometryczne : $x=a\sin t\ ,\ x=atgt$ ,
$x=a\sin^2t$ i t.p. oblicz:

$\begin{displaymath}\int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx\ ,\ \ \int\sqrt{a^2-x^2}dx\ ,\ \ \int{x\sqrt{\frac{x}{2a-x}}dx} \end{displaymath}$
Oblicz:
$\int{x^2e^{-2x}dx}\ ,\ \ \int{arctgxdx}\ ,\ \ \int{x^2arccosxdx}\ ,$ $\int{\ln{(x+\sqrt{1+x^2})}dx}$
Sporządź wykresy funkcji :
(a) $F(x)=\int_{1}^{x}{f(t)dt}$ jeżeli

$\begin{displaymath}f(t)=\left\{\begin{array}{ll} t-1 & dla\ t<0\\ 1 & dla\ t\geq{0} \end{array} \right.\end{displaymath}$

(b) $F(x)=\int_{0}^{x}{\vert t+1\vert dt}$ .
Oblicz $\int_{0}^{1}{\frac{\sin{x}}{x}dx}$ z dokładnością do 0,001.
Celem zadania jest wykazanie wzoru Wallisa:

$\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{1\ 3\ 5...(2n-1)}{2\ 4\ 6...2n} \right) ^2n =\frac{1}{\pi} \end{displaymath}$ (6.2)

Niech $I_{n}=\int_{0}^{\pi//2}{\sin^{n}xdx}$ , dla $n\in{\{0,1,2,...\}}$

(a)

Oblicz $I_{0}$ oraz $I_{1}$ .

(b)

Korzystając ze wzoru na całkowanie przez częsci, wykaż, że

$\begin{displaymath}I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\end{displaymath}$

(c)

Z (a) i (b) wywnioskuj, ze

$\begin{displaymath}\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}=[\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}]^2(2n+1)\frac{\pi}{2}\end{displaymath}$

(d)

Jednym zdaniem uzasadnij nierównosci :

$\begin{displaymath}0\leq{\sin^{2n+1}x}\leq{\sin^{2n}x}\leq{\sin^{2n-1}x}\end{displaymath}$

dla $x\in{[0,\pi//2]}.$

(e)

Zacytuj twierdzenie, z którego wynikają nierównosci

$\begin{displaymath}0\leq{I_{2n+1}}\leq{I_{2n}}\leq{I_{2n-1}}\end{displaymath}$

(f)

wydedukuj stąd granicę

$\begin{displaymath}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}},\end{displaymath}$

(a)

granicę

$\begin{displaymath}\lim_{n\rightarrow\infty}[\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}]^2=0\end{displaymath}$

i

(h)

wzór Wallisa ().
Niech będzie funkcją ciągłą z R w R , i dwiema funkcjami rózniczkowalnymi z R w R i niech będzie funkcją zdefiniowaną wzorem

$\begin{displaymath}g(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}{f(t)dt}.\end{displaymath}$

(a)

Wykaż, że $g'(x)=v'(x)f(v(x))-u'(x)f(u(x)).$

(b)

Niech G będzie funkcją zdefiniowaną przez

$\begin{displaymath}G(x)=\int_{x}^{2x}\frac{dt}{t^4+t^2+1}.\end{displaymath}$

Oblicz G'(x).
Oblicz pole figury płaskiej ograniczonej krzywymi

(a)

$y=\sin x\ , \ y=\cos x\ \ ;\ \ x\in{[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]}$

(b)

$y^2=2x\ , \ x^2+y^2=8$

(c)

$a^2x^2-b^2y^2-a^2b^2=0\ , \ x=2b$

(d)

$y=x\ , \ y=\sin^2x+x \ \ ;\ \ x\in{[0,\pi]}$

(e)

$y^2=2px\ \ ,\ \ 27py^2=8(x-p)^2$
Oblicz pole figury ograniczonej

(a)

łukiem o równaniach

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{ll} x=a\sin^3t & \ \\ y=a\cos^3t & \ ,0\leq{t}\leq{\pi//2}, \end{array} \right.\end{displaymath}$

osią i osią .

(b)

$r^2=\sin 4\phi$

(c)

$x^3+y^3=3axy$

(d)

$x^4+y^4=a^2(x^2+y^2)$
Oblicz długosc łuku
$x=a\cos^3t\ ,\ y=a\sin^3t\ ,\ 0\leq{t}\leq{\pi//2}$
$x=a(\cos t+t\sin t)\ ,\ y=a(\sin t-t\cos t)\ ,\ 0\leq{t}\leq{2\pi}$
Oblicz objętosc bryły powstałej przez obrót obszaru ograniczonego przez krzywą

(a)

$y=x^2\ ,\ y=2x$ wokół osi

(b)

$x^2-y^2=16\ ,\ x=5$ wokół osi .
Oblicz współrzędne srodka cięzkosci

(a)

łuku cykloidy

$\begin{displaymath}x=r(t-sint)\ \ y=r(1-cost)\ \ 0\leq{t}\leq{2\pi}\end{displaymath}$

jesli gęstosc masy jest na tym łuku stała.

(b)

łuku okręgu

$\begin{displaymath}x=rcost\ \ y=rsint\ \ 0\leq{t}\leq{\pi}\end{displaymath}$

jesli gęstosc liniowa masy rozłozonej na tym łuku $\mu(t)=\mu_{0}+\mu_{1}t$ .
Oblicz pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez :
- obrót o $180^o$ wokół osi OX elipsy $b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2= 0$
- obrót krzywej $y=e^{-x}\ \ (0\leq{x}<+\infty)$ wokół osi OY.
Rozciągnięcie spręzyny o 1 cm wymaga przyłozenia siły 1 N. Oblicz pracę , którą trzeba wykonac by rozciągnąc tę spręzynę do 5 cm .
Zbadaj zbieznosc i ew. oblicz całki niewłasciwe

$\begin{displaymath}\int_{0}^{+\infty}{e^{-\alpha x}cos\omega xdx}\ \ \ \ (\alpha , \omega >0)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\ \ \ \int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3+5x^2}\ \ \ \int_{-\infty}^{0}\frac{xdx}{3+5x^2}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\int_{0}^{e}{łn{x}dx}\ \ \ \int_{0}^{1}\sqrt{\frac{x}{1-x}}dx\end{displaymath}$

Next: Algebra i geometria analityczna Up: Zadania z matematyki dla Previous: Rachunek różniczkowy funkcji jednej Contents