Algebra i geometria analityczna

1. W ${\bf R}$ definiujemy działanie wewnętrzne $*$
   $x*y$ $=$ $x+y-xy$.
   Sprawdź, czy działanie to jest przemienne? łączne? Czy ma element neutralny? Czy dowolny element $x\in {\bf R}$ ma element odwrotny ze względu na $*$?
   
2. Wykaż, że w dowolnej grupie $G$

   istnieje tylko jeden element neutralny,

   dla dowolnego elementu istnieje tylko jeden element odwrotny.
   

3. Które z poniższych zbiorów są przestrzeniami wektorowymi:
   
   $$(a)\ \{ (x,y)\in {\bf R^2}:x-2y>0\}$$
   
   
   
   
   $$(b)\ \{ (x,y)\in {\bf R^2}:x-2y=0\}$$
   
   
   
   
   $$(c)\ \{ (x,y)\in {\bf R^2}:x-2y+1=0\}$$
   
   
   
   
   $$(d)\ \{ (x,y)\in {\bf R^2}:xy=0\}$$
   
   
   (z działaniami jak w ${\bf R^2}$).
   
   $$(e)\ \{ f:X\rightarrow {\bf R}:f(x_0)=1\}$$
   
   
   
   
   $$(f)\ \{f:X\rightarrow {\bf R}:f(x_0)=0\}$$
   
   
   
   
   $$(g)\ \{f:X\rightarrow {\bf R}:f(x_0)\in \{0,1\} \}$$
   
   
   (z działaniami jak w , $x_0$ jest pewnym elementem (niepustego) zbioru $X$).
   
4. Wykaż, że w dowolnej przestrzeni wektorowej $V$ nad ciałem $F$ zachodzą związki:

   
   
   mmmmmmmmmmmmmmmmm 
   $(-\alpha )v=-(\alpha v)$     		 $0v=\Theta$
   
   
   $\alpha \Theta = \Theta$ $\alpha v=\Theta \Rightarrow \alpha =0 \vee 
   v=0$
   

   (gdzie $0$ jest elementem neutralnym dla dodawania w ciele $F$, zaś $\Theta$ wektorem zerowym, tzn. elementem neutralnym dla dodawania w przestrzeni wektorowej V).
   
5. Które z poniższych zbiorów są podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej ${\bf R^3}$?

   $A=\{ (x,y,z\} \in {\bf R^3}:$ $x+y+z=1,$ $x-z=0\}$

   $B=\{ (x,y,z\} \in {\bf R^3}:$ $x^2+y^2>1\}$

   $C=\{ (x,y,z\} \in {\bf R^3}:$ $x+y-2=0\}$

   $D=\{(0,0,0)\}$

   $E=\{ v:$ $v=x(1,2,3)+y(2,3,1),$ $x,y\in{\bf R}\}$
   

6. Niech $U$ i $W$ będą podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej $V$ nad ciałem $F$. Które z poniższych zbiorów są podprzestrzeniami wektorowymi ?

   (a) $U\cap W$ (b) $U\cup W$

   (c) $U+W$ $=$ $\{u+w:u\in U,$ $w\in W\}$

   (d) $\lambda U$ $=$ $\{ \lambda u:u\in U\}$
   

7. Sprawdż liniową zależność zbiorów:

   $A=\{ (1,2,3),(0,2,1),(1,2,2)\}$ w ${\bf R^3}$

   $B=\{ X^0,X,X^2, ...\}$ w ${\bf R[X]}$

   $C=\left\{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0 & 1\end{array} \right] , \left[ \... ... \right] , \left[ \begin{array}{cc} 0 & 2\\ 2 & 0\end{array} \right] \right\}$ in ${\bf R^{2\times 2}}$.

   $D=\{ cosx,$ $cos2x,$ $cos3x,...\}$ w $C_{\bf R}$ (zbiór funkcji ciągłych zbioru ${\bf R}$ w ${\bf R}$).
   

8. Wykaż, że:

   (a) każdy zbiór zawierający wektor $\Theta$ jest liniowo zależny,

   (b) każdy zbiór zawierający zbiór liniowo zależny jest liniowo zależny.
   Sformułuj i udowodnij odpowiednie stwierdzenie dla zbiorów liniowo niezależnych.
   

9. Znajdź bazę przestrzeni $V$ zawierającą wektory $u$ i $v$, jeżeli

   $V={\bf R^3}$, $u=(1,-1,1)$, $v=(1,1,2)$

   $V={\bf R^3}[X]$, $u=X^2+1$, $v=X$

   $V={\bf R^{2\times 2}}$, $u=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right]$, $v=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right]$
   

10. Zbiór $\{ u,v,w\}$ jest bazą przestrzeni $V$. Wykaż, że $\{ u+v,u+w,v+w\}$ jest także bazą przestrzeni $V$.
    
11. $U$ i $W$ są podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej $V$. Wykaż, że

    $U\cap W$ oraz $U+W=\{u+w:$ $u\in U$, $w\in W\}$
    są podprzestrzeniami wektorowymi.
    Udowodnij, że jeśli $U$ i $W$ są skończenie wymiarowe, to

    $dim(U+W)$ $\leq$ $dimU$ $+$ $dim W$ oraz

    $dim(U+W)$ = $dimU$ + $dim W$ $\Leftrightarrow$ $U\cap W=\{ 0\}$.
    

12. Które z poniższych odwzorowań są, a które nie są liniowe ?

    $f:{\bf R^3} \rightarrow {\bf R^2}$, $f(x,y,z)=(x+y,y-z)$

    $g:{\bf R^2} \rightarrow {\bf R^2}$, $g(x,y)=(xcost-ysint, xsint+ycost)$

    $h:{\bf R}[X] \rightarrow {\bf R}[X]$, $h(P)=P^2$
    Dla tych funkcji które są liniowe:
    (a) Znajdź jądro, obraz, bazy jądra i obrazu oraz wymiary tych podprzestrzeni.
    (b) Wskaż macierze

    - w bazach kanonicznych

    - w dowolnie wybranych (lecz różnych od kanonicznych) bazach.
    

13. Udowodnij, że odwzorowanie liniowe $T:V\rightarrow W$ jest iniektywne wtedy i tylko wtedy gdy $KerT=\{ 0\}$.
    
14. Wskaż odwzorowanie liniowe $f:{\bf R^2}\rightarrow {\bf R^3}$, takie że $f(1,2)=(1,2,3)$, $f(2,1)=(1,3,2)$. Znajdź rząd $f$ i wymiar $Kerf$.
    
15. Niech $f:{\bf R^2}\rightarrow {\bf R^3}$, $g:{\bf R^3} \rightarrow {\bf R^2}$, $f(x,y)=(x+y,x-y,2x+y)$, $g(x,y,z)=(x+y,y-z)$.
    Sprawdź, że $f$ i $g$ są liniowe. Na dwa sposoby znajdź macierze $f\circ g$ i $g\circ f$ w bazach kanonicznych ${\bf R^2}$ i ${\bf R^3}$:

    Wykonując zlożenie funkcji, następnie znajdując macierz złożenia.

    Korzystając z twierdzenia o macierzy złożenia odwzorowań liniowych.
    

16. Wykaż, że ${\it L}(V,W)$ - zbiór odwzorowań liniowych przestrzeni wektorowej $V$ w przestrzeń wektorową $W$, jest przestrzenią wektorową ($V$ i $W$ są przestrzeniami nad wspólnym ciałem $F$). Wykaż, że jeśli $A=\{ a_1,...,a_n\}$ jest bazą $V$ zaś $B=\{b_1,...,b_m\}$ bazą $W$, to zbiór $\{ f_{ij}\}_{i=1,...,n;j=1,...,m}$, gdzie $f_{ij}:V\rightarrow W$ są takimi odwzorowaniami liniowymi, że $f_{ij}(a_i)=b_j$, jest bazą ${\it L}(V,W)$.
    
17. Macierzą operatora liniowego $f:{\bf R^3\rightarrow R^3}$ w bazie kanonicznej $\{ e_1,e_2,e_3\}$ jest
    
    $$M=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right) .$$
    
    
    Wykaż, że wektory $e'_1=2e_1+3e+2e_3,$ $e_2'=3e_1+4e_2+e_3,$ $e_3'=e_1+2e_2+2e_3$ tworzą bazę ${\bf R^3}$ i oblicz macierz $f$ względem tej bazy.
    
18. Niech
    
    $$M=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & 3\\ -1 & -2 & 3 & 0\\ 4 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 5 & -8 \end{array} \right) .$$
    
    
    Redukując $M$ do macierzy trójkątnej oblicz $detM$
    
19. Wykorzystując odpowiednie twierdzenie o rzędzie macierzy i wyznacznikach jego podmacierzy wykaż, że wektory i $(-1,2,1,-3)$ są liniowo niezależne.
    Następnie sprawdź niezależność tych wektorów

    - z definicji

    - korzystając z redukcji Gaussa.
    

20. Wykaż, że dla $n\geq 4$
    
    $$det\left(\begin{array}{ccccccc} 1^2 &2^2 & 3^2 & . & . & . &... ...\\ n^2&(n+1)^2&(n+2)^2&.&.&.&(2n-1)^2 \end{array} \right)=0.$$
    
    
    Jaki wynik otrzymamy dla $n=1,2,3$ ?
    
21. Oblicz:
    
    $$det\left(\begin{array}{cccccccc} 3&1&1&.&.&.&1&1\\ 1&4&1&.... ... 1&1&1&.&.&.&n+1&1\\ 1&1&1&.&.&.&1&n+2 \end{array}\right).$$
    
    
    
    
22. Wyznacz rzędy macierzy
    
    $$A=\left(\begin{array}{cccc} 1&2&-1&1\\ 5&1&2&1\\ 4&-1&a&... ...1\\ 1&a&1&1&1\\ 1&1&a&1&1\\ 1&1&1&a&1 \end{array}\right)$$
    
    
    w zależności od parametru $a$.
    
23. Dla jakiej wartości parametru $a$ rząd macierzy
    
    $$A=\left(\begin{array}{cccc} a&1&a&1\\ 0&a&0&a\\ 1&0&1&0\\ a&0&a&0 \end{array}\right)$$
    
    
    jest minimalny ?
    
24. Oblicz $A^{-1}$ jeżeli
    
    $$A=\left(\begin{array}{cc} 1&2\\ 2&1 \end{array}\right) \ ... ...n{array}{cc} cost & -sint \\ sint & cost \end{array}\right)$$
    
    
    
    
    $$\left(\begin{array}{ccc} 1&2&-3\\ 0&1&2\\ 1&2&3 \end{ar... ...gin{array}{ccc} 1&0&2\\ 2&1&0\\ 1&1&1 \end{array}\right).$$
    
    
    
    
25. Rozwiąż następujący układ równań:
    
    $$\left\{\begin{array}{ccc} 2x_1+2x_2-x_3+x_4 & = & 4\\ 4x_1... ..._4 & = &12\\ 9x_1+3x_2-2x_3+2x_4 & = & 6 \end{array}\right.$$
    
    
    
    
26. Przedyskutuj rozwiązalność i ew. rozwiąż w zależności od wartości parametrów $u,a,k,l$ poniższe układy równań:
    
    $$\left\{\begin{array}{ccccccccc} ux & + &y &+ & z & + & t & =... ...}{c} ax+y+z=1\\ x+ay+z=a\\ x+y+az=a^2 \end{array}\right .$$
    
    
    
    
    $$\left\{\begin{array}{cccccc} x&-&ky&-&3x&=0\\ lx&+&y&-&5z&... ...{ccc} ax&+y&=2\\ 3x&-y&=1\\ x&+4y&=a \end{array}\right.$$
    
    

27. Niech $a_1=(2,1,-3)$, $a_2=(3,2,-5)$, $a_3=(1,-1,1)$, i $x=(6,2,-7)$ będą wektorami przestrzeni ${\bf R^3}$.

    (a) Sprawdź, że $\{a_1,a_2,a_3\}$ jest bazą ${\bf R^3}$.

    (b) Znajdź współrzędne wektora $x$ względem tej bazy.
    Niech $f:{\bf R^3}\rightarrow {\bf R^3}$ będzie operatorem liniowym którego macierzą w bazie kanonicznej jest
    

    $$A=\left( \begin{array}{ccc} 11 & -11 & 5\\ 20 & -15 & 8\\ 2 & 0 & 6 \end{array} \right)$$
    
    

    (c) Znajdź macierz $f$ w bazie $\{a_1,a_2,a_3\}$.
    Uwaga: Punkty (a) i (b) proszę rozwiązać na dwa sposoby (z wykorzystaniem macierzy przejścia i bez).
    

28. Niech $A=(a_{ij})_{i,j=1,...,n}\in F^{n\times n}$. Skalar
    
    $$Tr(A)=\sum_{i=1}^na_{ii}$$
    
    
    nazywamy śladem macierzy $A$.
    Wykaż, że macierze podobne mają

    (a) ten sam ślad,

    (b) ten sam wyznacznik.
    Czy podobne są macierze $A$ i $B$ jeżeli
    

    $$(i) \ \ \ A=\left( \begin{array}{cc} 1&2\\ 2&1 \end{array} ... ... B=\left( \begin{array}{cc} 1&1\\ -1&1 \end{array} \right)$$
    
    
    
    
    $$(ii) \ \ \ A=\left( \begin{array}{cc} 3&1\\ 2&-1 \end{arr... ...\ B=\left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 2&1 \end{array} \right)$$
    
    

29. Na przykładach macierzy z poprzedniego zadania sprawdź prawdziwość następującego twierdzenia:

    Twiedzenie Cayleya-Hamiltona. Dla dowolnej macierzy $M\in F^{n\times n}$ zachodzi $\chi (M)=0$, gdzie $\chi$ jest wielomianem charaktrystycznym macierzy $M$.
    

30. Dla każdej z poniższych macierzy sprawdź czy jest diagonalizowalna. Jeśli tak, to napisz jej postać diagonalną.
    
    $$A=\left( \begin{array}{ccc} 5&8&10\\ 4&1&8\\ 4&-4&-11 \... ...{array}{ccc} 1&0&0\\ 1&2&-3\\ 1&-1&0 \end{array} \right)$$
    
    

31. Wskaż bazę w której operator liniowy $f:{\bf R^3}\rightarrow {\bf R^3}$, zdefiniowany wzorem $f(x,y,z)=(x+y,y,2z)$ ma macierz diagonalną.
    
32. Wykaż, że $f:{\bf R^2\times R^2}\rightarrow {\bf R}$, $f(x,y)=x_1y_1-x_1y_2+x_2y_1+x_2y_1$ jest formą dwuliniową, znajdź macierz ją reprezentującą w bazie kanonicznej i w bazie $\{ (1,2),(2,1)\}$.
    
33. Wykaż, że dla dowolnych macierzy $A, B\in F^{n\times n}$ zachodzi $(AB)^T=B^TA^T$.
    
34. Wykaż, że

    (a) $g:{\bf R^3}\ni x\rightarrow 3x_1x_2+x_2x_3$

    (b) $g:{\bf R^3}\ni x\rightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2x_3$
    jest formą kwadratową. Znajdź macierz formy $g$ w bazie kanonicznej.
    Doprowadź $g$ do postaci kanonicznej. Znajdź bazę ${\bf R^3}$ w której $g$ ma postać kanoniczną.
    

35. Zbadaj określoność form kwadratowych których macierzami są
    
    $$\left( \begin{array}{cc} 2&1\\ 1&2 \end{array} \right) \... ...in{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&0&1\\ 3&1&1 \end{array} \right)$$
    
    
    
    
    $$\left( \begin{array}{ccc} -9&-4&-1\\ -4&-2&-3\\ -1&-3&-4... ...in{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&1&2\\ 1&2&1 \end{array} \right)$$
    
    

36. Znajdź rozwiązanie ogólne układu równań:
    
    
    $$\left\{ \begin{array}{ccc} f_1' & = & 5f_1+8f_2+16f_3\\ f_... ...+f_2+8f_3\\ f'_3 & = & -4f_1-4f_2-11f_3 \end{array} \right .$$
    
    
    a następnie rozwiązanie spełniające warunek początkowy $f_1(0)=f_2(0)=f_3(0)=1$.
    
37. Wykaż, że kazda przestrzeń unormowana jest metryczna. Które z poniższych odwzorowań są normami ?

    (a) $f:{\bf R^2}\ni (x,y) \rightarrow \mid x \mid + \mid y \mid$

    (b) $g:{\bf R^2}\ni (x,y) \rightarrow max\{\mid x \mid ,\mid y \mid \}$

    (c) $h:{\bf R^2}\ni (x,y) \rightarrow \mid x + y \mid$
    

38. Dla jakiej wartości parametru $a$ płaszczyzna $\pi :x_1-3x_2+x_3-4=0$ jest równoległa do prostej
    
    $$l:\left\{ \begin{array}{ccc} 2x_1-ax_2+x_3-1 & = & 0\\ x_1+x_2+x_3+2 & = & 0 \end{array} \right .$$
    
    

39. Napisz równania płaszczyzn:

    - przechodzącej przez $A(3,-1,2)$ i prostopadłej do wektora $(4,2,-2)$

    - przechodzącej przez $B(3,-1,2)$ i równoległej do wektorów $(2,1,3)$ i $(2.0,1)$.
    

40. Znajdź punkt przecięcia prostej:
    $x_1=1-t$, $x_2=2+t$, $x_3=2t$, $x_4=-1+t$
    i hiperpłaszczyzny: $x_1-2x_2+3x_3-4x_4=1.$
    
41. Znajdź kąt między prostymi $l_1$ i $l_2$ w ${\bf R^4}$
    
    $$l_1: \left\{ \begin{array}{ccc} x_1 & = & 1-t\\ x_2 & = & ... ...-x_2+x_3-1 & = & 0 \\ x_3+x_4-1 & = & 0 \end{array} \right .$$
    
    

Wskazówki Do zadania . Każdy wiersz odejmij od następnego otrzymując w ten sposób macierz $M'$. Potem to samo z macierzą $M'$. Dla $n-3$ $detM=-8$.
Do Zadania . Pierwszy wiersz odejmij od wszystkich pozostałych, potem z pierwszej kolumny wyciągnij 2, z drugiej 3, ..., z n-tej $(n+1)$. Dodaj wszystkie kolumny od pierwszej. Po rozwinięciu otrzymujemy $detM=(n+1)!(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n+1})$.