- W
definiujemy działanie wewnętrzne
Sprawdź, czy działanie to jest przemienne? łączne? Czy
ma element neutralny? Czy dowolny element
ma element
odwrotny ze względu na
?
- Wykaż, że w dowolnej grupie
istnieje tylko jeden element neutralny,
dla dowolnego elementu istnieje tylko jeden element odwrotny.
- Które z poniższych zbiorów są przestrzeniami
wektorowymi:
(z działaniami jak w
).
(z działaniami jak w
,
jest
pewnym elementem (niepustego) zbioru
).
- Wykaż, że w dowolnej przestrzeni wektorowej
nad
ciałem
zachodzą związki:
mmmmmmmmmmmmmmmmm
(gdzie
jest elementem neutralnym dla dodawania w ciele
, zaś
wektorem zerowym, tzn. elementem neutralnym dla dodawania w
przestrzeni wektorowej V).
- Które z poniższych zbiorów są podprzestrzeniami
przestrzeni wektorowej
?
- Niech
i
będą podprzestrzeniami przestrzeni
wektorowej
nad ciałem
. Które z poniższych zbiorów
są podprzestrzeniami wektorowymi ?
(a)
(b)
(c)
(d)
- Sprawdż liniową zależność zbiorów:
w
w
in
.
w
(zbiór
funkcji ciągłych zbioru
w
).
- Wykaż, że:
(a) każdy zbiór zawierający wektor
jest
liniowo zależny,
(b) każdy zbiór zawierający zbiór liniowo zależny jest
liniowo zależny.
Sformułuj i udowodnij odpowiednie stwierdzenie dla zbiorów
liniowo niezależnych.
- Znajdź bazę przestrzeni
zawierającą wektory
i
, jeżeli
,
,
,
,
,
,
- Zbiór
jest bazą przestrzeni
. Wykaż,
że
jest także bazą przestrzeni
.
i
są podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej
.
Wykaż, że
oraz
,
są podprzestrzeniami wektorowymi.
Udowodnij, że jeśli
i
są skończenie wymiarowe, to
oraz
=
+
.
- Które z poniższych odwzorowań są, a które nie
są liniowe ?
,
,
,
Dla tych funkcji które są liniowe:
(a) Znajdź jądro, obraz, bazy jądra i obrazu oraz wymiary
tych podprzestrzeni.
(b) Wskaż macierze
- w bazach kanonicznych
- w dowolnie wybranych (lecz różnych od kanonicznych) bazach.
- Udowodnij, że odwzorowanie liniowe
jest
iniektywne wtedy i tylko wtedy gdy
.
- Wskaż odwzorowanie liniowe
,
takie że
,
. Znajdź rząd
i wymiar
.
- Niech
,
,
,
.
Sprawdź, że
i
są liniowe. Na dwa sposoby znajdź
macierze
i
w bazach kanonicznych
i
:
Wykonując zlożenie funkcji, następnie znajdując macierz
złożenia.
Korzystając z twierdzenia o macierzy złożenia odwzorowań
liniowych.
- Wykaż, że
- zbiór odwzorowań
liniowych przestrzeni wektorowej
w przestrzeń wektorową
,
jest przestrzenią wektorową (
i
są przestrzeniami nad
wspólnym ciałem
). Wykaż, że jeśli
jest bazą
zaś
bazą
, to zbiór
, gdzie
są
takimi odwzorowaniami liniowymi, że
, jest bazą
.
- Macierzą operatora liniowego
w bazie
kanonicznej
jest
Wykaż, że wektory
tworzą bazę
i oblicz macierz
względem tej bazy.
- Niech
Redukując
do macierzy trójkątnej oblicz
- Wykorzystując odpowiednie twierdzenie o rzędzie
macierzy i wyznacznikach jego podmacierzy wykaż, że wektory
i
są liniowo niezależne.
Następnie sprawdź niezależność tych wektorów
- z definicji
- korzystając z redukcji Gaussa.
-
Wykaż, że dla
Jaki wynik otrzymamy dla
?
-
Oblicz:
- Wyznacz rzędy macierzy
w zależności od parametru
.
- Dla jakiej wartości parametru
rząd macierzy
jest minimalny ?
- Oblicz
jeżeli
- Rozwiąż następujący układ równań:
- Przedyskutuj rozwiązalność i ew. rozwiąż
w zależności od wartości parametrów
poniższe
układy równań:
- Niech
,
,
,
i
będą wektorami przestrzeni
.
(a) Sprawdź, że
jest bazą
.
(b) Znajdź współrzędne wektora
względem tej
bazy.
Niech
będzie operatorem liniowym
którego macierzą w bazie kanonicznej jest
(c) Znajdź macierz
w bazie
.
Uwaga: Punkty (a) i (b) proszę rozwiązać na dwa sposoby
(z wykorzystaniem macierzy przejścia i bez).
- Niech
. Skalar
nazywamy śladem macierzy
.
Wykaż, że macierze podobne mają
(a) ten sam ślad,
(b) ten sam wyznacznik.
Czy podobne są macierze
i
jeżeli
- Na przykładach macierzy z poprzedniego zadania sprawdź
prawdziwość następującego twierdzenia:
Twiedzenie Cayleya-Hamiltona. Dla dowolnej macierzy
zachodzi
, gdzie
jest
wielomianem charaktrystycznym macierzy
.
- Dla każdej z poniższych macierzy sprawdź czy jest
diagonalizowalna. Jeśli tak, to napisz jej postać diagonalną.
- Wskaż bazę w której operator liniowy
, zdefiniowany wzorem
ma macierz diagonalną.
- Wykaż, że
,
jest formą dwuliniową,
znajdź macierz ją reprezentującą w bazie kanonicznej
i w bazie
.
- Wykaż, że dla dowolnych macierzy
zachodzi
.
- Wykaż, że
(a)
(b)
jest formą kwadratową.
Znajdź macierz formy
w bazie kanonicznej.
Doprowadź
do postaci kanonicznej. Znajdź bazę
w której
ma postać kanoniczną.
- Zbadaj określoność form kwadratowych których
macierzami są
- Znajdź rozwiązanie ogólne układu równań:
a następnie rozwiązanie spełniające warunek początkowy
.
- Wykaż, że kazda przestrzeń unormowana jest
metryczna. Które z poniższych odwzorowań są normami ?
(a)
(b)
(c)
- Dla jakiej wartości parametru
płaszczyzna
jest równoległa do prostej
- Napisz równania płaszczyzn:
- przechodzącej przez
i prostopadłej do wektora
- przechodzącej przez
i równoległej do
wektorów
i
.
- Znajdź punkt przecięcia prostej:
i hiperpłaszczyzny:
- Znajdź kąt między prostymi
i
w