Całki wielokrotne, krzywoliniowe i powierzchniowe

1. Cakę zamień na caki iterowane $\int_a^b dx\int_{\phi (x)}^{\psi (x)} f(x,y)dy$
   i $\int_c^d dy\int_{\alpha (x)}^{\beta (x)} f(x,y)dy$ jesli $\Omega$ jest
   (a) trójkątem o wierzchokach $(0,0)$, $(1,0)$ i $(1,1)$
   (b) koem $x^2 +y^2 \leq y$.
2. Zmień kolejnosc cakowania w cakach podwójnych :
   
   $$\int_0^1 dx \int_{x^3}^{x^2} f(x,y)dy \ \ \ \int_1^2 dx\int_0^{lnx} f(x,y)dy$$
   
   

3. Oblicz $\int \int_{\Omega}\mid xy \mid dxdy$ gdy $\Omega$ jest koem o srodku w $(0,0)$ i promieniu $a$.
4. Przechodząc do wspórzędnych biegunowych oblicz
   
   $$\int \int _{x^2+y^2 \leq a^2}\sqrt{x^2+y^2}dxdy \ \ \ \int \int_{\pi^2 \leq x^2+y^2 \leq 4\pi^2} \sin \sqrt{x^2+y^2}dxdy$$
   
   

5. Narysuj bryę której objętosc wyznacza caka:
   
   $$\int \int_{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\leq 1} \sqrt{1-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}}dxdy$$
   
   

6. Oblicz objętosci bry ograniczonych powierzchniami:
   (a) $z=1+x+y$, $z=0$, $x+y=1$, $x=0$, $y=0$.
   (b) $z=x^2 +y^2$ , $y=x^2$ , $y=1$, $z=0$.
   (c) $z=xy$, $x+y+z=1$, $z=0$.
   (d) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2},$ $\frac{x^2}{a^2}+ \frac{x^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2},$ $(z>0)$.
7. Znajdź wspórzędne srodka cięzkosci jednorodnej figury ograniczonej krzywymi:
   
   $$\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}, \ \ \ x=0, \ \ \ y=0.$$
   
   

8. Oblicz pole które z powierzchni $z=xy$ wycina walec $x^2 +y^2 =a^2$ .
9. Przy pomocy caki potrójnej oblicz objętosc bryy ograniczonej powierzchniami:
   
   $$x^2 +y^2 +z^2 =a^2 , \ \ x^2 +y^2 +z^2 =b^2 , \ \ x^2 +y^2 =z^2 , \ \ (z>0, 0<a<b).$$
   
   

10. Przechodząc do wspórzędnych cylindrycznych oblicz
    
    $$\int \int \int_V(x^2+y^2)dxdydz$$
    
    
    (gdzie $V$ jest bryą ograniczoną powierzchniami: $x^2 +y^2 =2z,$ $z=2$.
11. Oblicz cakę potrójną $\int \int \int _V\sqrt{x^2 +y^2 +z^2 }dxdydz$, gdzie $V$ jest bryą ograniczoną powierzchnią $x^2 +y^2 +z^2 =z$.
12. Oblicz $\int_Kx^2dx+\sqrt{xy}dy$, gdzie $K$ jest częscią okręgu o srodku w $(0,0)$ zawartym między punktami $A(0,R)$ i $B(R,0)$.
13. Jaką pracę wykona punkt materialny poruszający się w polu si:
    po uku $y=0$ od $A(0,0,0)$ do $B(1,0,1)$.
14. Oblicz
    (a)
    (b)
    (c)
    i korzystając z twierdzenia Greene'a
    (d) .
    (e)
    (f) gdzie $C$ jest dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi $y=x^2$, $y=x^3$ w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.
15. Oblicz $\oint_{K((00),5)}(x^2-y^2)ds.$
16. Znajdź masę krzywej $x=2\cos t$, $y=3\sin t$, $z=t$, $t\in <0,\frac{\pi}{2}>$, której gęstość masy jest proporcjonalna do kwadratu odległości punktu od punktu $(0,0,0)$.
17. Oblicz całki powierzchniowe niezorientowane:

    (a)

    $\int \int_S xyzdS$, gdzie $S$ jest wycinkiem sfery $x^2+y^2+z^2=4, \ \ x\geq 0, \linebreak y \geq 0, \ \ z \geq 0$.

    (b)

    $\int \int_S xy^2z^2dS$, gdzie $S$ jest cęścią stożka $z=\sqrt{x^2+y^2}$ położoną nad podzbiorem płaszczyzny $Oxy$ ograniczonym nierównościami:
    $x^2+y^2 \leq 1, \ \ x\geq 0, \ \ y \geq 0$.

    (c)

    $\int \int_S cos zdS$, gdzie $S$ jest wycinkiem płaszczyzny $2z+3y+4x=2$ której rzutem na płaszczyzne $Oxy$ jest $0 \leq x \leq 1,\ \ -1 \leq y \leq 3$.

    (d)

    $\int \int_S e^{x^2+y^2} dS$, gdzie $S$ jet częścią stożka $z^2=x^2+y^2$ ponad kołem
    $x^2+y^2 \leq 1$ dla $x \geq 0$ i $y \geq 0$.

    (e)

    $\int \int_S ln(x^2+y^2+z^2)dS$, gdzie $S$ jest częścią sfery $x^2+y^2+z^2=5$ ponad kołem $x^2+y^2 \leq 1$.

    (f)

    $\int \int_S zdS$, gdzie $S$ jest czworościanem ograniczonym płaszczyznami układu współrzędnych i $x+y+z=1$.

    (g)

    $\int \int_S (x^2+y^2)dS$, gdzie $S$ jest powierzchnią ograniczoną zamkniętym walcem: $x^2+y^2=1$, $0 \leq z \leq 1$.

18. Oblicz strumień cieczy przepływającej ku górze przez północną sferę $x^2+y^2+z^2=1$ przy szybkości przepływu $G(x,y,z)= (-y,x,z)$.
19. Oblicz całki powierzchniowe zorientowane:

    (a)

    $\int \int_S xdydz + ydzdx + zdxdy$, gdy

    (i)

    $S$ jest częścią płaszczyzny $x+y+z=3,\ x\geq 0, \ y \geq 0, \ z \geq 0$, zorientowaną ku górze

    (ii)

    $S$ jest zamkniętą, północną połową kuli:
    $x^2+y^2+z^2=1, \ z \geq 0$ zorientowaną na zewnątrz.

    (b)

    $\int \int_S ydydz - xdzdx + xydxdy$, gdy $S$ jest zadana przez:
    $z=(x^2+y^2)^{1//2}, \ x^2+y^2 \leq 1$

20. Znajdź strumień wypływający na zewnątrz powierzchni zamkniętej $S$ gdy

    (a)

    $S$ jest czworościanem ograniczonym przez płaszczyznę $2x+3y+z=1$ i płaszczyznami układu współrzędnych a prędkość przepływu $G(x,y,z)=(0,x,y)$.

    (b)

    $S$ jest ograniczona przez stożek $x^2+y^2=z^2$ i płaszczyznę $z=1$
    a prędkość przepływu $G(x,y,z)=(y,-x,xy)$.

21. Podczas wykładu udowodniliśmy, że jeśli pole wektorowe $F=(P,Q,R)$ i powierzchnia $S$ spełniają założenia twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, wtedy
    
    $$\int \int_SRdxdy = \int \int \int_V \frac{\partial R}{\partial z}dxdydz.$$
    
    
    Udowodnij dwa "brakujące ogniwa" dowodu twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, t.j. równości
    
    $$\int \int \int_V\frac{\partial P}{\partial x}dxdydz = \int \int_SPdydz$$
    
    
    
    
    $$\int \int \int_V\frac{\partial Q}{\partial y}dxdydz = \int \int_SQdzdx$$
    
    

22. Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego oblicz te z całek zadań i w których $S$ jest powierzchnią zamkniętą.
23. Oblicz strumień cieczy wypływający na zewnątrz powierzchni $S$ z prędkością $G$.

    (a)

    $G(x,y,z)=(8xyz,2yz,6xz)$, $S: \ x^2 + y^2 =4, \ z=3, \ z = 5$

    (b)

    $G(x,y,z)=(z^3,x^2,xz\cos^2y)$, $S: \ x = 0$, $x=\sin y, \ y=0, \ y=\pi, \ z=0, \ z=x\sin y$.

    (c)

    $G(x,y,z)=(x^2,xy,xz)$, $S: \ z+3x+3y=6, \ x=0, \ y=0, \ z=0$.

24. (por. ) Na wykładzie udowodniliśmy, że przy stosownych założeniach (przypomnij jakich?!) o polu wektorowym $F$ i powierzchni $S$ zachodzi wzór
    
    $$\oint_{\partial S}Pdx = \int \int_S (\frac{\partial P}{\partial z}dzdx - \frac{\partial P}{\partial y}dxdy).$$
    
    
    Udowodnij pozostałe dwa wzory uzupełniając w ten sposób dowód twierdzenia Stokesa.
25. Poniższe całki oblicz

    (a)

    korzystając ze wzoru na zamianę całki krzywoliniowej na oznaczoną (bez korzystania z twierdzenia Stokesa),

    (b)

    korzystając z twierdzenia Stokesa.

    (W każdym z przykładów wybierz jedną z dwóch możliwych orientacji krzywej $C$.)

    (i)

    $\oint_C (x+y)dx+xdy + (x+y)dz$, $C: \ x=\cos t, \ y=\sin t, \ z=1, \ 0 \leq t \leq 2\pi$

    (ii)

    $\oint_C (x+z)dx + (y+z)dy +\sin{z}dz$, $C: \ x^2+y^2 = 4, \ z=2$

26. Korzystając z twierdzenia Stokesa oblicz ($C$ zorientuj jakkolwiek):

    (a)

    $\oint_C ydx+zdy+xdz$, $C: \$trójkąt o wierzchołkach $(0,0,1), \ (0,1,1), \ (1,0,0)$.

    (b)

    $\oint_C zdx + xdy + ydz$, gdzie $C$ jest przecięciem powierzchni o równaniu $z=xy$ z walcem $x^2+y^2=9$.

    (c)

    $\oint_C (z^2-xy-y^2)dx + y^2lnydy + (x+y)\sin{5z}dz$, gdzie $C$ jest przecięciem płaszczyzny $x+y+z=4$ z płaszczyznami układu.