Podstawowe równania operatorów
hiperbolicznych.

Odzyskamy rozwiązanie podstawowe równania hiperbolicznego

$$\frac{\partial ^{2}E}{\partial t^{2}-a^{2}}\bigtriangleup E=\delta (x-y)\delta (t-\tau ),$$ (10.101)

gdzie $x,y\in \mathbb{R}^{n}$ i $t,\tau \in \mathbb{R}^{1}.$ Stosuj ąc transformację Fourier'a do (10.36) dla $x\in \mathbb{R}^{n}$ otrzymujemy:

$$\frac{\partial ^{2}\hat{E}_{x}}{\partial t^{2}}+a^{2}\vert\xi \vert^{2}\hat{E} _{x}=\exp [i<\xi ,y>]\otimes \delta (t-\tau ),$$ (10.102)

skąd znajdujemy że funkcja

$$\hat{E}_{x}=\frac{\nu (t-\tau )}{a\vert\xi \vert}\sin [a\vert\xi \vert(t-\tau )]e^{i<\xi ,y>}.$$ (10.103)

spełnia (10.71). Stosując odwrotną transformację Fourier'a do (10.71), znajdujemy rozwiązanie podstawowe $E\in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb{R}^{n+1})$ dla (10.70). Niech teraz $n=1,$ i pokażemy, że funkcja

$$E(x-y;t-\tau )=\frac{1}{2a}\vartheta (a(t-\tau )-\vert x-y\vert)$$ (10.104)

spełnia równanie (10.70). Wykorzystując (10.56b), przy $n=1,$ otrzymujemy:

$$\frac{1}{2a}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\vartheta (a(t-\tau )-\vert x-y\vert)\exp (ix)dx$$

$$= \frac{1}{2a}\exp (iy\xi )\overset{a(t-\tau )}{\underset{-a(t-\tau )}{\int }e^{iz\xi }dz}$$

$$= \frac{\exp (iy\xi )}{a\xi }\sin [a\xi (t-\tau )]=\frac{\exp (iy\xi )}{a\vert\xi \vert}\sin [a\vert\xi \vert(t-\tau )];$$

co daje wynik (10.10). Niech teraz $n>1.$ Rozważmy funkcję uogólnioną $\ \delta (\vert x-y\vert-r)$ dla $r>0$ i $x,y\in \mathbb{R}^{n},$ i znajdziemy jej transformację Fourier'a po $x\in \mathbb{R}^{n}:$

$$\hat{\delta}(\vert x-y\vert-r) = \exp (i<\xi ,y>)\underset{\vert z\vert=r}{\int }\exp (i<z,\xi >)dz$$ (10.105)

$$\Rightarrow \{ \} \notag$$ (10.106)

$$\notag$$ (10.107)

$$= \omega _{n}r^{n-2}\vert\xi \vert^{1-\frac{n}{2}}\exp (i<\xi ,y>)J_{\frac{n}{2}-1}(r\vert\xi \vert), \notag$$ (10.108)

$$\notag$$ (10.109)

gdzie $J_{\frac{n}{2}-1}(r\vert\xi \vert)$ jest funkcją specjalną Bessel'a od argumenta $r\vert\xi \vert\in \mathbb{R}_{+}^{1}.$ Rozważmy teraz przypadek $\ n=2m+3,$ $m\in \mathbb{Z}_{+}.$ Wtedy otrzymujemy takie wartości funkcji Bessel'a:

$$J_{\frac{1}{2}}(z) = \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin z;$$ (10.110)

$$J_{m+\frac{1}{2}}(z) = (-1)^{m}z^{m+\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{z}\frac{d}{dz} \right) ^{m}\left( \frac{J_{\frac{1}{2}}(z)}{\sqrt{z}}\right) . \notag$$ (10.111)

W szczególności dla $m=0$ $($ $n=3)$ otrzymujemy z (10.73) i (10.75) że

$$\left. \left[ \left( \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\right) ^{m}\delta (\... ...t{\frac{2}{\pi }}\frac{ \sin r\vert\xi \vert}{\vert\xi \vert}\exp (i<\xi ,y>).$$ (10.112)

Porównując teraz wyrażenia (10.76) i (10.71), otrzymujemy dla $n \in \mathbb{Z}_{+}$ przy $r=a(t-\tau ):$

$$E(x-y;t-\tau ) =\frac{\vartheta (t-\tau )\sqrt{\frac{\pi }{2}}}{\omega _{n}}\frac{\delta (\vert x-y\vert-a(t-\tau ))}{[a(t-\tau )]^{m}}$$ (10.113)

$$\Rightarrow \frac{\vartheta (t-\tau )}{2a\pi \frac{n-1}{2}}\delta ^{(m)}(a^{2}(t-\tau )^{2}-\vert x-y\vert^{2}),\quad m=\frac{(n-3)}{2}.$$ (10.114)

W przypadku parzystych $n=2m\in \mathbb{Z}_{+}$ rozwiązanie podstawowe jest lokalnie całkowalną funkcją, tj. $E\in L_{1}^{loc}(\mathbb{R}^{n+1}).$ Na przykład, dla $n=2$

$$E(x-y;t-\tau )=\frac{\vartheta (a(t-\tau )-\vert x-y\vert)}{2\pi a\sqrt{a^{2}(t-\tau )^{2}-\vert x-y\vert^{2}}},$$ (10.115)

i dla dowolnego $n=2m\in \mathbb{Z}_{+}$

$$E(x-y;t-\tau ) = \frac{(-1)^{m-1}}{2a}\pi ^{\frac{(2m+1)}{2}}\Gamma \big(\frac{ 2m-1}{2}\big) \notag$$ (10.116)

$$\times \frac{\vartheta (a(t-\tau )-\vert x-y\vert)}{\Big[a^{2}(t-\tau )^{2}-\vert x-y\vert^{2}\Big]^{ \frac{2m-1}{2}}}$$ (10.117)

gdzie $\Gamma (\alpha ),$ $\alpha \in \mathbb{R}^{1}$ , jest to zwykła $\Gamma -$funkcja Euler'a spełniająca równanie funkcyjne:

$$\Gamma (\alpha +1)=(\alpha +1)\Gamma (\alpha )$$ (10.118)

dla wszystkich $\alpha \geq 0.$ Dla $\alpha =n\in \mathbb{Z}_{+}$ z (10.81) zachodzi że
$\Gamma (n+1)=(n+1)\Gamma (n)=(n+1)!$ W przypadku ogólnym dla $\Gamma (\alpha ),$ $\alpha \in \mathbb{R}_{+}^{1}$,istnieje wzór całkowy: $\Gamma (\alpha )=$ $\overset{\infty }{\underset{0}{\int }}x^{\alpha }e^{-x}dx.$ Następne twierdzenie charakteryzuje rozwiązanie podstawowe dla równania (10.70) jako funkcję uogólnioną na $\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n}).$

Twierdzenie 10.13   Rozwiązanie podstawowe równania fal (10.70) jest
funkcją uogólnioną na $\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n}),$ gładką po $t>\tau \in \mathbb{R}^{1},$ spełniającą takie warunki Cauchye'go:

$$\underset{t\downarrow \tau }{\lim }E=0 , \underset{ t\downarrow \tau }{\lim }\frac{\partial E}{\partial t}=\delta (x-y) \underset{t\downarrow \tau }{\lim }\frac{\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}=0.$$ (10.119)

$\lhd$ Dowód.Niech $n=3;$ wtedy na mocy wyrażenia (10.77) przy $m=0$ dla $\varphi \in$ $\mathcal{D}(\mathbb{R}^{3})$ otrzymujemy:

$$E(\varphi )=\frac{\vartheta (t-\tau )}{4\pi a^{2}(t-\tau )}\underset{ \vert x\vert=a(t-\tau )}{\int }\varphi (x+y)dS_{x}.\Rightarrow$$ (10.120)

$$\Rightarrow \frac{\vartheta (t-\tau )(t-\tau )}{4\pi }\underset{\vert\omega \vert=1}{ \int }\varphi (y+a(t-\tau )\omega )dS_{\omega } ,$$ (10.121)

skąd od razu widzimy że $\underset{t\downarrow \tau }{\lim }E(\varphi )=0.$ Biorąc pochodną po $t>\tau$ od wyrażenia (10.84), otrzymujemy:

$$\frac{\partial E}{\partial t}(\varphi )=\frac{1}{4\pi }\underset... ...underset{\vert\omega \vert=1}{\int }\varphi (y+a(t-\tau )\omega )dS_{\omega },$$

skąd przy $\ \underset{t\downarrow \tau }{\lim }\frac{\partial E}{\partial t}(\varphi )=\varphi (y).$ W końcu

$$\frac{\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}(\varphi ) =\frac{1}{4\pi }... ...\underset{\vert\omega \vert=1}{\int }\varphi (y+a(t-\tau )\omega )dS_{\omega }$$ (10.122)

$$+\frac{t}{4\pi }\frac{d^{2}}{dt^{2}}\underset{\vert\omega \vert=1}{ \int }\varphi (a(t-\tau )\omega +y)dS_{\omega }$$

$$+$$$$\frac{1}{4\pi }\frac{d}{dt}\underset{\vert\omega \vert=1}{\int }\varphi (y+a(t-\tau )\omega )dS_{\omega }$$

$$=\frac{1}{2\pi }\frac{d}{dt}\underset{\vert\omega \vert=1}{\int ... ...derset{\vert\omega \vert=1}{\int }\varphi (a(t-\tau )\omega +y)dS_{\omega }.$$

Teraz udowodnimy, że

$$\underset{t\downarrow \tau }{\lim }\frac{d}{dt}\underset{\vert\omega \vert=1}{\int } \varphi (y+a(t-\tau )\omega )dS_{\omega }=0.$$ (10.123)

Ponieważ funkcja $\varphi \in$ $\mathcal{D}(\mathbb{R}^{3}),$ dla małych $t-\tau >0$ istnieje rozwinięcie w szereg Taylor'a:

$$\varphi \big(y+a\omega (t-\tau )\big)=\varphi (y)+<\bigtriangledown \varphi (y),a\omega >(t-\tau )+O(t-\tau )^{2}.$$ (10.124)

Podstawiając (10.87) w (10.86), mamy:

$$\underset{t\downarrow \tau }{\lim }\frac{d}{dt}\underset{\vert\omega \vert=1}{\int }\varphi (y+a\omega (t-\tau ))dS_{\omega }$$ (10.125)

$$= \underset{\vert\omega \vert=1}{\int }<\bigtriangledown \varphi (y),a\omega >dS_{\omega } \notag$$ (10.126)

$$= -\underset{\vert-\omega \vert=1}{\int }<\bigtriangledown \varphi (y),a\omega >dS_{\omega }\Rightarrow 0 \notag$$ (10.127)

To znaczy między innymi, że wyrażenie $\underset{\vert\omega \vert=1}{ \int }\varphi \big(y+a(t-\tau )\omega \big)dS_{\omega }$ jako funkcja parametru $(t-\tau )\in \mathbb{R}_{+}^{1}$ jest parzysta, mając wtedy pochodną po $t>\tau$ w punkcie $t=\tau$ równą dokładnie zero.