Problem spektralny dla równania Bessel'a.

Niech $\nu \geq 0$; rozważny taki problem brzegowy na wartości własne:

$$L_{\nu}f=-(xf')' + \frac{{\nu}^{2}}{xf}=\lambda x f,$$ (13.31)

gdzie $x \in (0,1)$, oraz dla $\gamma=min(\nu,1), \quad \alpha \geq 0, \quad \beta \geq 0$ i $\alpha + \beta>0$

$$f(x)=O(x^{\gamma}) \textrm{ gdy } x \to 0, \quad \alpha f(1)+ \beta f'(1)=0$$ (13.32)

Dziedzina $Dom(L_{\nu})=C^{2}\big([0,1] \big) \oplus (\ref{sec:13.31})$ oraz warunek, że $x^{-\frac{1}{2}}L_{\nu}f \in L_{2}(0,1)$ dla $f \in Dom(L_{\nu})$. Oczywiście, że operator $L_{\nu}$ jest dodatni, hermitowy i zachodzi równość:

$$(L_{\nu}f,f)=\int_{0}^{1}x {\vert f'\vert}^{2} \mathrm{d}x + {\nu... ...f\vert}^{2}}{x} \mathrm{d}x + \frac{\alpha}{\beta}{\vert f(1)\vert}^{2} \geq 0$$ (13.33)

dla $f \in Dom(L_{\nu})$.
Niech teraz $\mu_{0}>0$ jest pierwiastkiem równania

$$\alpha J_{\nu}(\mu)+ \beta \mu J'_{\nu}(\mu)=0, \quad \alpha \geq 0, \beta \geq 0, \alpha+\beta >0,$$ (13.34)

gdzie $\lambda_{0}:={\mu_{0}}^{2}$ jest wartością własną, a $J_{\nu}(\mu_{0}x)$ jest odpowiednią funkcją własną. Przy tym znajdujemy, że $\lambda =0 \in Specl(L_{\nu})$ tylko wtedy gdy $\nu=\alpha=0$, co przeczy warunkowi $\alpha \neq 0$. Tak więc dla rozwiązania

$$f_{\nu}(x)=C_{1}J_{\nu}(\mu_{0}x)+C_{2}Y_{\nu}(\mu_{0}x)$$ (13.35)

zachodzi z pierwszego warunku (13.32), że $C_{2}=0$, oraz wartość $\mu_{0} \in \mathbb{R}_{+}$ spełnia równanie (13.34). Wnioskując z (13.35) i (13.34), otrzymujemy że
$Spec L_{\nu}=\bigg\{{\Big( {\mu_{k}}^{(\nu)}\Big)}^{2}; k \in \mathbb{Z}_{+}\backslash\{0\} \bigg\}$ i $J_{\nu}\bigg({\mu_{k}}^{(\nu)}x \bigg), \quad k \in \mathbb{Z}_{+}\backslash\{0\}$ są odpowiednio funkcje własne operatora Bessel'a (13.31). Oczywiście także, że zmodyfikowane że własne funkcje Bessel'a są ortogonalne na $[0,1]$ i gęste w $L_{2}(0,1)$, tj. funkcje $\sqrt{x}J_{\nu}\Big({\mu_{k}}^{(\nu)}x \Big)\quad k \in \mathbb{Z}_{+}\backslash\{0\}$ są gęste w $L_{2}(0,1)$ i ortogonalne na $(0,1]$. To jest równoważne temu, że zbiór funkcji $\bigg\{J_{\nu}\Big({\mu_{k}}^{(\nu)}x \Big)\quad k \in \mathbb{Z}_{+}\backslash\{0\}\bigg\}$ jest gęsty w $L_{2}(0,1;x)$, przestrzeni Hilberta z funkcją wagową $x$ na odcinku $(0,1)$.